Résolution d'équations du second degré et factorisation dans ℂ

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• Pour az^2 + bz + c = 0 à coefficients réels et < 0 : z = -b i-2a, deux racines conjuguées. • Dans tous les cas : az^2 + bz + c = a(z - z_1)(z - z_2), avec z_1 + z_2 = -b/a et z_1 z_2 = c/a. • Tout polynôme de degré n 1 admet n racines dans C, comptées avec multiplicité.

Le cours

📌 Théorème Fondamental : Trinôme du Second Degré dans C Soit l'équation az^2 + bz + c = 0 où a, b, c sont des réels (a 0). On pose = b^2 - 4ac. Si > 0 : Deux racines réelles distinctes z_1 = -b - 2a et z_2 = -b + 2a. Si = 0 : Une racine réelle double z_0 = -b/2a. Si Deux racines complexes non réelles conjuguées : z_1 = -b - i-2a et z_2 = -b + i-2a = z_1 Factorisation dans C Dans tous les cas, le trinôme se factorise en produit de facteurs du premier degré dans C : az^2 + bz + c = a(z - z_1)(z - z_2) Relations de Viète : la somme des racines vaut S = z_1 + z_2 = -b/a et leur produit vaut P = z_1 z_2 = c/a. Équations de Degré Supérieur Pour résoudre P(z) = 0 de degré 3 ou 4 : Rechercher une racine évidente z_0 (souvent réelle ou imaginaire pure). Factoriser par (z - z_0) en identifiant les coefficients : P(z) = (z - z_0) Q(z). Résoudre l'équation du second degré restante Q(z) = 0. ⚡ Théorème de d'Alembert-Gauss Tout polynôme non constant à coefficients complexes admet au moins une racine dans C. En conséquence, tout polynôme de degré n 1 se factorise exactement en produit de n facteurs de degré 1 dans C : il admet exactement n racines (comptées avec leur ordre de multiplicité). On dit que C est algébriquement clos.

Dans ce chapitre

• Repérage cartésien et coordonnées de vecteurs dans le plan de Seconde
• Discriminant et factorisation canonique du trinôme de Première
• Équations du second degré et factorisations dans R de Première
• Partie réelle, partie imaginaire et caractérisation des réels et imaginaires purs
• Propriétés algébriques du conjugué et inverse d'un nombre complexe
• Propriétés du module et inégalité triangulaire dans C
• Racines carrées complexes d'un nombre complexe sous forme algébrique
• Équations polynomiales de degré supérieur à 2 et factorisation par (z - z0)
• Théorème fondamental de l'algèbre et factorisation sur R et C
• Ensembles de points définis par des modules : cercles et médiatrices
• Ensemble ℂ des nombres complexes : forme algébrique et égalité
• Conjugué et module d'un nombre complexe
• Résolution d'équations du second degré et factorisation dans ℂ
• Bilan : Synthèse et méthode sur Nombres complexes : Forme algébrique et équations