Propriétés algébriques du conjugué et inverse d'un nombre complexe

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• z_1 + z_2 = z_1 + z_2 et z_1 z_2 = z_1 z_2. • (z_1/z_2) = z_1z_2 (z_2 0) et z^n = (z)^n (n Z). • Re(z) = z + z2 et Im(z) = z - z2i. • **Inverse** : 1/z = zzz = x - iy/x^2 + y^2 (z 0).

Le cours

1. Définition et interprétation Le conjugué de z = x + iy (x, y réels) est z = x - iy : on change le signe de la partie imaginaire. Dans le plan complexe, le point d'affixe z est le symétrique du point d'affixe z par rapport à l'axe des abscisses. De plus, z = z. 2. Règles de calcul La conjugaison est compatible avec toutes les opérations : le conjugué d'une somme, d'un produit, d'un quotient ou d'une puissance s'obtient en conjuguant chaque terme. z_1 + z_2 = z_1 + z_2 z_1 z_2 = z_1\,z_2 z^n = (z)^n On en déduit Re(z) = z + z2 et Im(z) = z - z2i. 3. Inverse d'un nombre complexe non nul Le produit zz = (x + iy)(x - iy) = x^2 + y^2 est un réel positif, non nul si z 0. D'où : 1/z = zzz = x - iy/x^2 + y^2 Mini-exemple : 1/1 + 2i = 1 - 2i/1 + 4 = 1/5 - 2/5i. 4. Méthode : montrer qu'un nombre est réel ou imaginaire pur Sans calculer la forme algébrique, on montre que Z = Z (Z réel) ou que Z = -Z (Z imaginaire pur). Par exemple, Z = zz + z + z est réel pour tout z, car Z = zz + z + z = Z.

Dans ce chapitre

• Repérage cartésien et coordonnées de vecteurs dans le plan de Seconde
• Discriminant et factorisation canonique du trinôme de Première
• Équations du second degré et factorisations dans R de Première
• Partie réelle, partie imaginaire et caractérisation des réels et imaginaires purs
• Propriétés algébriques du conjugué et inverse d'un nombre complexe
• Propriétés du module et inégalité triangulaire dans C
• Racines carrées complexes d'un nombre complexe sous forme algébrique
• Équations polynomiales de degré supérieur à 2 et factorisation par (z - z0)
• Théorème fondamental de l'algèbre et factorisation sur R et C
• Ensembles de points définis par des modules : cercles et médiatrices
• Ensemble ℂ des nombres complexes : forme algébrique et égalité
• Conjugué et module d'un nombre complexe
• Résolution d'équations du second degré et factorisation dans ℂ
• Bilan : Synthèse et méthode sur Nombres complexes : Forme algébrique et équations