Équations polynomiales de degré supérieur à 2 et factorisation par (z - z0)

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• P(z_0) = 0 P(z) = (z - z_0)Q(z) avec (Q) = (P) - 1. • Pour trouver une racine évidente, testez 1, -1, 2, -2, i, -i. • **Polynôme à coefficients réels** : si z_0 est racine, alors son conjugué z_0 est également racine : P(z_0) = P(z_0) = 0.

Le cours

1. Racine d'un polynôme Un nombre complexe z_0 est racine du polynôme P si P(z_0) = 0. Point de départ : pour tout entier n 1 et tout complexe a, z^n - a^n = (z - a)(z^n-1 + a z^n-2 + + a^n-2 z + a^n-1) 2. Théorème de factorisation Si P est de degré n 1 et P(z_0) = 0, alors P(z) = P(z) - P(z_0) est une somme de termes a_k(z^k - z_0^k), tous factorisables par z - z_0. Il existe donc un polynôme Q de degré n - 1 tel que : P(z) = (z - z_0)\,Q(z) Conséquence : un polynôme de degré n admet au plus n racines. 3. Méthode de résolution de P(z) = 0 1. Chercher une racine évidente z_0 parmi 1, -1, 2, -2, i, -i, ou utiliser celle donnée. 2. Écrire P(z) = (z - z_0)(az^2 + bz + c), développer et identifier les coefficients ; vérifier toutes les égalités, y compris celle qui ne sert pas au calcul. 3. Résoudre az^2 + bz + c = 0 avec le discriminant, puis réunir toutes les solutions. 4. Coefficients réels et racines conjuguées Si tous les coefficients de P sont réels, alors P(z_0) = P(z_0) : dès que z_0 est racine, z_0 l'est aussi. Ce n'est plus vrai si un coefficient n'est pas réel.

Dans ce chapitre

• Repérage cartésien et coordonnées de vecteurs dans le plan de Seconde
• Discriminant et factorisation canonique du trinôme de Première
• Équations du second degré et factorisations dans R de Première
• Partie réelle, partie imaginaire et caractérisation des réels et imaginaires purs
• Propriétés algébriques du conjugué et inverse d'un nombre complexe
• Propriétés du module et inégalité triangulaire dans C
• Racines carrées complexes d'un nombre complexe sous forme algébrique
• Équations polynomiales de degré supérieur à 2 et factorisation par (z - z0)
• Théorème fondamental de l'algèbre et factorisation sur R et C
• Ensembles de points définis par des modules : cercles et médiatrices
• Ensemble ℂ des nombres complexes : forme algébrique et égalité
• Conjugué et module d'un nombre complexe
• Résolution d'équations du second degré et factorisation dans ℂ
• Bilan : Synthèse et méthode sur Nombres complexes : Forme algébrique et équations