Ensemble ℂ des nombres complexes : forme algébrique et égalité

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• Forme algébrique unique : z = a + ib avec a = Re(z) R et b = Im(z) R. • Égalité : a + ib = a' + ib' a = a' et b = b' (pour a, b, a', b' réels). • i^2 = -1 et i^n = i^r, où r est le reste de la division euclidienne de n par 4.

Le cours

📌 Définition et Forme Algébrique Il existe un ensemble noté C, contenant R, muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de R et vérifient les mêmes règles de calcul, possédant un élément particulier noté i tel que : i^2 = -1 Tout nombre complexe z C s'écrit de manière unique sous la forme : z = a + ib avec a R et b R Cette écriture est appelée forme algébrique de z. Partie Réelle et Partie Imaginaire Partie réelle : Re(z) = a R. Partie imaginaire : Im(z) = b R (attention : c'est un nombre réel, sans le i). Réel pur : z R Im(z) = 0 b = 0. Imaginaire pur : z iR Re(z) = 0 a = 0 (z = ib). Théorème d'Égalité de Deux Complexes Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire : a + ib = a' + ib' a = a' et b = b' En particulier : a + ib = 0 a = 0 et b = 0. ⚡ Puissances de i et Périodicité Les puissances entières de i sont 4-périodiques : i^0 = 1, i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1. Pour calculer i^n, on effectue la division euclidienne de n par 4 : n = 4q + r avec r \0, 1, 2, 3\, d'où i^n = (i^4)^q i^r = i^r.

Dans ce chapitre

• Repérage cartésien et coordonnées de vecteurs dans le plan de Seconde
• Discriminant et factorisation canonique du trinôme de Première
• Équations du second degré et factorisations dans R de Première
• Partie réelle, partie imaginaire et caractérisation des réels et imaginaires purs
• Propriétés algébriques du conjugué et inverse d'un nombre complexe
• Propriétés du module et inégalité triangulaire dans C
• Racines carrées complexes d'un nombre complexe sous forme algébrique
• Équations polynomiales de degré supérieur à 2 et factorisation par (z - z0)
• Théorème fondamental de l'algèbre et factorisation sur R et C
• Ensembles de points définis par des modules : cercles et médiatrices
• Ensemble ℂ des nombres complexes : forme algébrique et égalité
• Conjugué et module d'un nombre complexe
• Résolution d'équations du second degré et factorisation dans ℂ
• Bilan : Synthèse et méthode sur Nombres complexes : Forme algébrique et équations