Partie réelle, partie imaginaire et caractérisation des réels et imaginaires purs

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• **Unicité** : x + iy = x' + iy' x = x' et y = y'. • **Nombre réel** : z R Im(z) = 0. • **Imaginaire pur** : z iR Re(z) = 0. • **Zéro** : z = 0 Re(z) = 0 et Im(z) = 0.

Le cours

1. Forme algébrique, partie réelle, partie imaginaire Tout nombre complexe z s'écrit de manière unique sous la forme algébrique z = x + iy avec x et y réels. Le réel x est la partie réelle, notée Re(z) ; le réel y est la partie imaginaire, notée Im(z). z = Re(z) + i\,Im(z) avec Re(z) R,\ Im(z) R Exemple : pour z = -3 + 5i, Re(z) = -3 et Im(z) = 5. 2. Réels et imaginaires purs z est réel si et seulement si Im(z) = 0 (équivalent : z = z). z est imaginaire pur si et seulement si Re(z) = 0 (équivalent : z = -z) ; on note z iR. 0 est à la fois réel et imaginaire pur ; par unicité, x + iy = 0 équivaut à x = 0 et y = 0. 3. Méthode : lire Re et Im d'une expression 1. Développer (ou multiplier par le conjugué du dénominateur pour un quotient). 2. Remplacer chaque i^2 par -1. 3. Regrouper sous la forme x + iy avec x et y réels, puis lire Re et Im. Mini-exemple : (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i, donc (1 + i)^2 est un imaginaire pur. 4. Attention On ne lit Re et Im qu'une fois x et y réels : pour z = (1 + i) + i(2 + i), on ne peut pas dire Re(z) = 1 + i. On développe : z = 1 + i + 2i - 1 = 3i, donc Re(z) = 0 et Im(z) = 3.

Dans ce chapitre

• Repérage cartésien et coordonnées de vecteurs dans le plan de Seconde
• Discriminant et factorisation canonique du trinôme de Première
• Équations du second degré et factorisations dans R de Première
• Partie réelle, partie imaginaire et caractérisation des réels et imaginaires purs
• Propriétés algébriques du conjugué et inverse d'un nombre complexe
• Propriétés du module et inégalité triangulaire dans C
• Racines carrées complexes d'un nombre complexe sous forme algébrique
• Équations polynomiales de degré supérieur à 2 et factorisation par (z - z0)
• Théorème fondamental de l'algèbre et factorisation sur R et C
• Ensembles de points définis par des modules : cercles et médiatrices
• Ensemble ℂ des nombres complexes : forme algébrique et égalité
• Conjugué et module d'un nombre complexe
• Résolution d'équations du second degré et factorisation dans ℂ
• Bilan : Synthèse et méthode sur Nombres complexes : Forme algébrique et équations