Racines carrées complexes d'un nombre complexe sous forme algébrique

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• Tout complexe non nul admet exactement **deux racines carrées opposées** (x + iy). • Par somme et différence des deux premières équations : x^2 = a^2 + b^2 + a2 et y^2 = a^2 + b^2 - a2 • L'équation 2xy = b fixe si x et y sont de même signe (b > 0) ou de signes contraires (b < 0).

Le cours

1. Définition Une racine carrée complexe d'un nombre complexe Z est un nombre complexe z tel que z^2 = Z. Tout Z 0 en possède exactement deux, opposées : z et -z ; le seul nombre dont l'unique racine carrée est 0 est 0. Cas d'un réel : si a > 0, les racines carrées de a sont a et -a ; si a 2. Méthode algébrique pour Z = a + ib On pose z = x + iy (x, y réels). L'égalité z^2 = Z donne deux équations, et l'égalité des modules |z|^2 = |Z| en fournit une troisième : cases x^2 - y^2 = a \\ x^2 + y^2 = a^2 + b^2 \\ 2xy = b cases 1. Additionner et soustraire les deux premières lignes pour obtenir x^2 et y^2. 2. En déduire x = et y = 3. Garder les couples de signes compatibles avec 2xy = b : même signe si b > 0, signes contraires si b 3. Attention La formule x^2 = |Z| + a/2 porte sur la partie réelle : intervertir x^2 et y^2 donne de fausses racines. Toujours vérifier en élevant au carré le résultat obtenu. 4. Situation dans le programme En Mathématiques expertes, le programme se limite aux équations du second degré à coefficients réels, où l'on n'a besoin que des racines carrées d'un réel négatif. Le calcul des racines carrées d'un complexe quelconque est un approfondissement, utile pour les équations à coefficients complexes.

Dans ce chapitre

• Repérage cartésien et coordonnées de vecteurs dans le plan de Seconde
• Discriminant et factorisation canonique du trinôme de Première
• Équations du second degré et factorisations dans R de Première
• Partie réelle, partie imaginaire et caractérisation des réels et imaginaires purs
• Propriétés algébriques du conjugué et inverse d'un nombre complexe
• Propriétés du module et inégalité triangulaire dans C
• Racines carrées complexes d'un nombre complexe sous forme algébrique
• Équations polynomiales de degré supérieur à 2 et factorisation par (z - z0)
• Théorème fondamental de l'algèbre et factorisation sur R et C
• Ensembles de points définis par des modules : cercles et médiatrices
• Ensemble ℂ des nombres complexes : forme algébrique et égalité
• Conjugué et module d'un nombre complexe
• Résolution d'équations du second degré et factorisation dans ℂ
• Bilan : Synthèse et méthode sur Nombres complexes : Forme algébrique et équations