Ensembles de points définis par des modules : cercles et médiatrices

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• |z - z_A| = R : cercle de centre A et de rayon R. • |z - z_A| R : disque fermé de centre A et de rayon R. • |z - z_A| = |z - z_B| : médiatrice du segment [AB]. • Pour déterminer la forme algébrique, on peut poser z = x + iy et développer les modules au carré.

Le cours

1. Le module, une distance Si A et M ont pour affixes z_A et z, alors |z - z_A| = AM. Toute condition sur des modules se traduit donc en condition sur des distances : |z - z_A| = R (avec R > 0) : cercle de centre A et de rayon R ; |z - z_A| R : disque de centre A et de rayon R (bord compris) ; |z - z_A| = |z - z_B|, soit AM = BM : médiatrice du segment [AB] ; |z - z_A| 2. Méthode 1. Mettre chaque module sous la forme |z - z_A| : |z + 3 - 2i| = |z - (-3 + 2i)| et, si z a un coefficient k 0, |kz - w| = |k| |z - w/k|. 2. Nommer les points, traduire en distances et reconnaître l'ensemble. 3. Contrôler avec z = x + iy : on élève au carré et on obtient l'équation cartésienne du cercle ou de la droite. 3. Attention Le rayon d'un cercle est positif : |z - 1| = -2 n'a aucune solution, et |z - 1| = 0 ne décrit que le point d'affixe 1. Bien lire le signe : le centre de |z + 1 - 3i| = 4 a pour affixe -1 + 3i, pas 1 - 3i.

Dans ce chapitre

• Repérage cartésien et coordonnées de vecteurs dans le plan de Seconde
• Discriminant et factorisation canonique du trinôme de Première
• Équations du second degré et factorisations dans R de Première
• Partie réelle, partie imaginaire et caractérisation des réels et imaginaires purs
• Propriétés algébriques du conjugué et inverse d'un nombre complexe
• Propriétés du module et inégalité triangulaire dans C
• Racines carrées complexes d'un nombre complexe sous forme algébrique
• Équations polynomiales de degré supérieur à 2 et factorisation par (z - z0)
• Théorème fondamental de l'algèbre et factorisation sur R et C
• Ensembles de points définis par des modules : cercles et médiatrices
• Ensemble ℂ des nombres complexes : forme algébrique et égalité
• Conjugué et module d'un nombre complexe
• Résolution d'équations du second degré et factorisation dans ℂ
• Bilan : Synthèse et méthode sur Nombres complexes : Forme algébrique et équations