Propriétés du module et inégalité triangulaire dans C

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• |z| 0 et |z| = 0 z = 0. • |z| = |-z| = |z|. • |z_1 z_2| = |z_1| |z_2| et |z^n| = |z|^n (n N). • |z_1/z_2| = |z_1|/|z_2| (z_2 0). • **Inégalité triangulaire** : |z_1 + z_2| |z_1| + |z_2| (égalité si et seulement si les vecteurs images de z_1 et z_2 sont colinéaires de même sens). • **Inégalité triangulaire inversée** : ||z_1| - |z_2|| |z_1 - z_2|.

Le cours

1. Définition et sens géométrique Le module de z = x + iy (x, y réels) est le réel positif |z| = x^2 + y^2 = zz. Si M a pour affixe z, alors |z| = OM ; plus généralement, |z_B - z_A| = AB. Pour un réel, le module coïncide avec la valeur absolue. 2. Propriétés algébriques Le module est compatible avec le produit et le quotient, mais pas avec la somme : |z_1 z_2| = |z_1|\,|z_2| |z_1/z_2| = |z_1|/|z_2| |z^n| = |z|^n Mini-exemple : |(1 + i)(2 - i)| = 2 5 = 10, sans développer. 3. Inégalité triangulaire Pour tous complexes z_1 et z_2 : |z_1 + z_2| |z_1| + |z_2|. Géométriquement, dans un triangle, un côté est plus court que la somme des deux autres. L'égalité a lieu exactement quand les vecteurs images de z_1 et z_2 sont colinéaires et de même sens. On en déduit aussi ||z_1| - |z_2|| |z_1 - z_2|. 4. Méthode : majorer ou minorer un module 1. Découper l'expression en somme de termes simples. 2. Appliquer l'inégalité triangulaire, puis |ab| = |a|\,|b| à chaque terme. 3. Remplacer |z| par la borne donnée dans l'énoncé.

Dans ce chapitre

• Repérage cartésien et coordonnées de vecteurs dans le plan de Seconde
• Discriminant et factorisation canonique du trinôme de Première
• Équations du second degré et factorisations dans R de Première
• Partie réelle, partie imaginaire et caractérisation des réels et imaginaires purs
• Propriétés algébriques du conjugué et inverse d'un nombre complexe
• Propriétés du module et inégalité triangulaire dans C
• Racines carrées complexes d'un nombre complexe sous forme algébrique
• Équations polynomiales de degré supérieur à 2 et factorisation par (z - z0)
• Théorème fondamental de l'algèbre et factorisation sur R et C
• Ensembles de points définis par des modules : cercles et médiatrices
• Ensemble ℂ des nombres complexes : forme algébrique et égalité
• Conjugué et module d'un nombre complexe
• Résolution d'équations du second degré et factorisation dans ℂ
• Bilan : Synthèse et méthode sur Nombres complexes : Forme algébrique et équations