Conjugué et module d'un nombre complexe

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• Conjugué : a + ib = a - ib ; module : |z| = a^2 + b^2. • Relation fondamentale : zz = |z|^2, d'où 1/z = z|z|^2 pour z 0. • Inégalité triangulaire : |z + z'| |z| + |z'|.

Le cours

📌 Définitions Fondamentales : Conjugué et Module Soit z = a + ib un nombre complexe sous forme algébrique (a, b R). Le conjugué de z, noté z, est le nombre complexe : z = a - ib. Le module de z, noté |z|, est le réel positif : |z| = a^2 + b^2 = z z. Relation clé : z z = (a + ib)(a - ib) = a^2 - (ib)^2 = a^2 + b^2 = |z|^2. Propriétés du Conjugué z = z. z + z' = z + z' et z z' = z z'. (z/z') = zz' (z' 0) et z^n = (z)^n. Re(z) = z + z2 et Im(z) = z - z2i. Caractérisation : z R z = z, et z iR z = -z. Propriétés du Module |z| 0, et |z| = 0 z = 0. |z| = |-z| = |z|. |z z'| = |z| |z'| et |z/z'| = |z|/|z'|. |z^n| = |z|^n pour tout n Z. Inégalité triangulaire : |z + z'| |z| + |z'|. L'égalité a lieu ssi l'un est multiple réel positif de l'autre. ⚡ Technique Reine : Éliminer i au Dénominateur Pour mettre un quotient z_1/z_2 sous forme algébrique, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué z_2 : z_1/z_2 = z_1 z_2z_2 z_2 = z_1 z_2|z_2|^2 Le dénominateur devient ainsi un réel strictement positif, ce qui sépare immédiatement partie réelle et partie imaginaire.

Dans ce chapitre

• Repérage cartésien et coordonnées de vecteurs dans le plan de Seconde
• Discriminant et factorisation canonique du trinôme de Première
• Équations du second degré et factorisations dans R de Première
• Partie réelle, partie imaginaire et caractérisation des réels et imaginaires purs
• Propriétés algébriques du conjugué et inverse d'un nombre complexe
• Propriétés du module et inégalité triangulaire dans C
• Racines carrées complexes d'un nombre complexe sous forme algébrique
• Équations polynomiales de degré supérieur à 2 et factorisation par (z - z0)
• Théorème fondamental de l'algèbre et factorisation sur R et C
• Ensembles de points définis par des modules : cercles et médiatrices
• Ensemble ℂ des nombres complexes : forme algébrique et égalité
• Conjugué et module d'un nombre complexe
• Résolution d'équations du second degré et factorisation dans ℂ
• Bilan : Synthèse et méthode sur Nombres complexes : Forme algébrique et équations