Bilan : Synthèse et méthode sur Nombres complexes : Forme algébrique et équations

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• Poser z = x + iy avec x, y réels dès que z et z apparaissent ensemble, puis identifier. • Multiplier par le conjugué du dénominateur pour mettre un quotient sous forme algébrique. • Trinôme à coefficients réels avec < 0 : deux racines conjuguées -b i-2a. • Contrôler les racines avec z_1 + z_2 = -b/a et z_1 z_2 = c/a.

Le cours

🎯 Le Devoir Bilan de Mathématiques Expertes : Nombres Complexes (Partie 1) L'option Mathématiques expertes n'a pas d'épreuve écrite au baccalauréat : elle est évaluée en contrôle continu. Les devoirs bilans sur ce chapitre portent sur trois piliers : le maniement sûr de la forme algébrique, l'usage du conjugué pour montrer qu'une quantité est réelle ou imaginaire pure, et la résolution complète d'équations polynomiales avec factorisation. Méthode 1 : Système en (x, y) Pour résoudre une équation complexe où figurent simultanément z et z ou |z| (ex : 2z + 3z = 5 + 2i), poser z = x + iy avec x, y R. Développer, regrouper partie réelle et partie imaginaire, puis identifier pour obtenir un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues réelles. Méthode 2 : Racine Imaginaire Pure Lorsqu'une question indique « Montrer que l'équation admet une solution imaginaire pure z_0 », poser z_0 = ib avec b R. Injecter dans l'équation, isoler Re(P(ib)) = 0 et Im(P(ib)) = 0, et trouver la valeur réelle de b qui annule les deux simultanément. Méthode 3 : Équations Bicarrées Face à une équation du quatrième degré de type a z^4 + b z^2 + c = 0, poser le changement de variable Z = z^2. Résoudre l'équation du second degré a Z^2 + b Z + c = 0 pour trouver Z_1, Z_2, puis résoudre enfin z^2 = Z_1 et z^2 = Z_2 dans C. Tableau Récapitulatif : Formules Clés du Chapitre Concept Formule / Propriété Application Typique Égalité a + ib = a' + ib' a = a' et b = b' Identification pour équations avec z, z Inverse 1/z = z|z|^2 = a - ib/a^2 + b^2 Mise sous forme algébrique des quotients Réel / Imaginaire z R z = z ; z iR z = -z Démonstrations théoriques d'alignement ou d'orthogonalité Second degré Résolution des trinômes et factorisation dans C

Dans ce chapitre

• Repérage cartésien et coordonnées de vecteurs dans le plan de Seconde
• Discriminant et factorisation canonique du trinôme de Première
• Équations du second degré et factorisations dans R de Première
• Partie réelle, partie imaginaire et caractérisation des réels et imaginaires purs
• Propriétés algébriques du conjugué et inverse d'un nombre complexe
• Propriétés du module et inégalité triangulaire dans C
• Racines carrées complexes d'un nombre complexe sous forme algébrique
• Équations polynomiales de degré supérieur à 2 et factorisation par (z - z0)
• Théorème fondamental de l'algèbre et factorisation sur R et C
• Ensembles de points définis par des modules : cercles et médiatrices
• Ensemble ℂ des nombres complexes : forme algébrique et égalité
• Conjugué et module d'un nombre complexe
• Résolution d'équations du second degré et factorisation dans ℂ
• Bilan : Synthèse et méthode sur Nombres complexes : Forme algébrique et équations