Angles orientés et mesures sur le cercle trigonométrique de Première

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• **Angle orienté** : (u, v) = 2. • **Relation de Chasles pour les angles** : (u, w) = (u, v) + (v, w) 2. • **Propriétés de signe** : (v, u) = -(u, v) 2 et (-u, v) = (u, v) + 2.

Le cours

1. Mesures d'un angle orienté Le plan est orienté : le sens direct (ou trigonométrique) est le sens inverse des aiguilles d'une montre. À deux vecteurs non nuls u et v, pris dans cet ordre, on associe l'angle orienté (u, v). Si en est une mesure en radians, ses autres mesures s'obtiennent en ajoutant un nombre entier de tours : (u, v) = + 2k, k Z Correspondances utiles : \ rad = 180^, donc /6 = 30^, /4 = 45^, /3 = 60^ et /2 = 90^. 2. Mesure principale Parmi toutes ces mesures, une seule appartient à l'intervalle ]-\,;\,] : c'est la mesure principale. Elle est positive si l'on tourne de u vers v dans le sens direct, négative sinon. 3. Méthode : mesure principale de p/q 1. Calculer le quotient p/q et repérer l'entier pair 2k qui en est le plus proche. 2. Retrancher 2k (soit k tours complets). 3. Vérifier que le résultat est dans ]-\,;\,]. Mini-exemple : 17/6 2,83, l'entier pair le plus proche est 2, donc 17/6 - 2 = 5/6, qui est bien dans ]-\,;\,]. 4. Attention et lien avec les complexes L'ordre des vecteurs compte : (v, u) = -(u, v). Remplacer un vecteur par son opposé ajoute un demi-tour : (-u, v) = (u, v) + . En Terminale, si M est l'image d'un complexe non nul z, un argument de z est une mesure de l'angle orienté formé par le vecteur unitaire de l'axe des réels et OM : tout ce rappel sert donc directement aux arguments.

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