Racines n-ièmes de l'unité et géométrie des complexes

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• **Racines n-ièmes de l'unité** : _k = e^i2k/n pour k \0, , n - 1\ ; elles forment un polygone régulier à n sommets et leur somme est nulle. • **Distance** : AB = |z_B - z_A|. • **Angle** : (AB, AC) = (z_C - z_A/z_B - z_A) modulo 2.

Le cours

📌 Racines n-ièmes de l'Unité Pour tout entier n 2, on appelle racine n-ième de l'unité tout nombre complexe z vérifiant l'équation : z^n = 1 Il existe exactement n racines n-ièmes de l'unité distinctes, notées _k pour k \0, 1, , n-1\ : _k = e^i 2k/n = (e^i 2/n)^k En posant = e^i 2/n, l'ensemble des racines est U_n = \1, , ^2, , ^n-1\. Propriétés des Racines n-ièmes Modules : |_k| = 1 pour tout k. Elles appartiennent toutes au cercle trigonométrique unité. Polygone régulier : Leurs points images forment les n sommets d'un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle unité, de centre O. Somme nulle : Pour tout n 2, la somme de toutes les racines n-ièmes vaut 0 : _k=0^n-1 _k = 1 + + ^2 + + ^n-1 = 1 - ^n/1 - = 0 Interprétation Géométrique des Complexes Affixe d'un vecteur : z_AB = z_B - z_A. Distance : AB = \|AB\| = |z_B - z_A|. Angle de vecteurs : (u, AB) (z_B - z_A) 2. Angle orienté : (AB, CD) (z_D - z_C/z_B - z_A) 2. Colinéarité / Alignement : A, B, C alignés z_C - z_A/z_B - z_A R. Orthogonalité : (AB) (CD) z_D - z_C/z_B - z_A iR. ⚡ Le nombre j (Racines Cubiques de l'Unité) Pour n = 3, les racines de z^3 = 1 sont 1, j = e^i 2/3 = -1/2 + i32, et j^2 = j = e^i 4/3 = -1/2 - i32. Propriétés fondamentales : j^3 = 1 et 1 + j + j^2 = 0. Les points images forment un triangle équilatéral direct inscrit dans le cercle unité.

Dans ce chapitre

• Angles orientés et mesures sur le cercle trigonométrique de Première
• Formules d'addition et de duplication trigonométriques de Première
• Trigonométrie du cercle, cosinus, sinus et repérage polaire de Première
• Propriétés algébriques des arguments d'un produit et d'un quotient
• Linéarisation trigonométrique et puissances par les formules d'Euler
• Racines n-ièmes de l'unité Un et somme des racines
• Racines n-ièmes d'un nombre complexe quelconque sous forme exponentielle
• Interprétation géométrique du module et argument de (zC - zA)/(zB - zA)
• Caractérisation de l'alignement et orthogonalité par les arguments complexes
• Transformations complexes du plan : translations, homothéties et rotations
• Forme trigonométrique et argument
• Forme exponentielle, formules d'Euler et de Moivre
• Racines n-ièmes de l'unité et géométrie des complexes
• Bilan : Synthèse et méthode sur Nombres complexes : Forme trigonométrique, exponentielle et géométrie