Forme exponentielle, formules d'Euler et de Moivre

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• **Forme exponentielle** : z = re^i avec r = |z| > 0 et = (z) modulo 2. • **Formule de Moivre** : ( + i)^n = (n) + i(n), soit (e^i)^n = e^in. • **Formules d'Euler** : = e^i + e^-i2 et = e^i - e^-i2i. • **Identité d'Euler** : e^i + 1 = 0.

Le cours

📌 Notation d'Euler et Forme Exponentielle Pour tout réel , on pose par définition : e^i = + i Cette notation est cohérente avec les propriétés de l'exponentielle car : e^i_1 e^i_2 = e^i(_1 + _2) et e^i_1e^i_2 = e^i(_1 - _2) Tout nombre complexe non nul s'écrit sous forme exponentielle (le module r est unique, l'argument est défini à 2 près) : z = r e^i avec r = |z| > 0 et = (z) R Formule de Moivre Pour tout réel et tout entier relatif n Z : (e^i)^n = e^i n ( + i)^n = (n) + i(n) Outil majeur pour calculer rapidement les puissances de complexes et exprimer (n) en fonction de . Formules d'Euler et Linéarisation Pour tout réel : = e^i + e^-i2 = e^i - e^-i2i Indispensables pour linéariser les puissances trigonométriques ^n et ^n afin d'en trouver des primitives. 🌟 L'Identité d'Euler : « La plus belle formule des mathématiques » Pour = , on a e^i = + i = -1 + 0i = -1. On en déduit la célèbre relation d'Euler reliant les cinq constantes fondamentales des mathématiques (0, 1, e, i, ) : e^i + 1 = 0

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