Linéarisation trigonométrique et puissances par les formules d'Euler

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• **Formules d'Euler** : x = e^ix + e^-ix2, x = e^ix - e^-ix2i • **Formule de Moivre** : ( x + i x)^n = (nx) + i(nx) (e^ix)^n = e^inx. • **Méthode de linéarisation** : 1. Remplacer x ou x par sa formule d'Euler. 2. Développer la puissance avec le binôme de Newton (a+b)^n. 3. Regrouper les termes symétriques e^ikx + e^-ikx = 2(kx) et e^ikx - e^-ikx = 2i(kx).

Le cours

1. Formules d'Euler Pour tout réel , e^i = + i et e^-i = - i. En ajoutant puis en soustrayant ces deux égalités : = e^i + e^-i2 = e^i - e^-i2i Lues à l'envers, elles servent à regrouper : pour tout entier k, e^ikx + e^-ikx = 2(kx) et e^ikx - e^-ikx = 2i(kx). 2. Méthode de linéarisation Linéariser ^n x, ^n x ou un produit comme ^2 x x, c'est l'écrire comme une somme de termes (kx) et (kx), sans puissance. 1. Remplacer chaque x et x par sa formule d'Euler ; sortir les dénominateurs 2^n ou (2i)^n. 2. Développer avec le binôme de Newton, en simplifiant e^ipx e^-iqx = e^i(p - q)x. 3. Regrouper chaque terme e^ikx avec son symétrique e^-ikx, puis appliquer les formules de regroupement. 4. Diviser et simplifier ; vérifier en x = 0 ou x = /2. 3. À quoi cela sert Une puissance de cosinus n'a pas de primitive immédiate, alors qu'une somme de (kx) en a une. Mini-exemple : ^2 x = 1 + (2x)/2, donc une primitive de ^2 x est x/2 + (2x)/4 (sa dérivée vaut bien 1/2 + (2x)/2). On linéarise aussi pour calculer des intégrales ou étudier des signaux périodiques.

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