Racines n-ièmes de l'unité Un et somme des racines

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• U_n = \ e^i 2k/n, k \0, 1, , n - 1\ \. • Posant = e^i2/n, on a U_n = \1, , ^2, , ^n-1\. • **Somme nulle** : pour tout n 2 : 1 + + ^2 + + ^n-1 = 1 - ^n/1 - = 1 - 1/1 - = 0 • Pour n = 3, les racines cubiques de l'unité sont 1, j, j^2 avec j = e^i2/3 = -1/2 + i32, vérifiant 1 + j + j^2 = 0 et j^3 = 1.

Le cours

1. Définition Soit n un entier, n 1. Une racine n-ième de l'unité est un nombre complexe z tel que z^n = 1. On note U_n l'ensemble de ces nombres. 2. Les n racines Si z^n = 1, alors |z|^n = 1 donc |z| = 1 : on écrit z = e^i. L'équation devient e^in = 1, soit n = 2k. On obtient exactement n racines distinctes : _k = e^i2k/n, k \0, 1, , n - 1\ Avec = e^i2/n, on a _k = ^k. Leurs images sont les sommets d'un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle unité, dont un sommet est le point d'affixe 1. 3. Somme des racines Pour n 2, 1 et 1, , , ^n-1 sont les termes d'une suite géométrique de raison : _k=0^n-1 ^k = 1 - ^n/1 - = 0 car ^n = 1 En prenant parties réelle et imaginaire : _k=0^n-1 2k/n = 0 et _k=0^n-1 2k/n = 0. 4. Cas à connaître et piège U_2 = \1, -1\, U_4 = \1, i, -1, -i\ et U_3 = \1, j, j^2\ avec j = e^i2/3. L'indice k s'arrête à n - 1 : pour k = n, on retrouve ^n = 1 = _0, ce n'est pas une nouvelle racine.

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