Propriétés algébriques des arguments d'un produit et d'un quotient

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• (z_1 z_2) = (z_1) + (z_2) [2]. • (1/z) = -(z) [2] et (z_1/z_2) = (z_1) - (z_2) [2]. • (z^n) = n (z) [2] (n Z). • (z) = -(z) [2] et (-z) = (z) + [2].

Le cours

1. Argument d'un nombre complexe non nul Soit z un nombre complexe non nul d'image M dans un repère orthonormé direct (O\,;\,u, v). Un argument de z, noté (z), est une mesure de l'angle orienté (u, OM) ; il est défini à un multiple de 2 près. Le nombre 0 n'a pas d'argument. 2. Propriétés : l'argument transforme produits en sommes Pour tous complexes non nuls z_1, z_2, z et tout entier relatif n : (z_1 z_2) = (z_1) + (z_2) 2 (z_1/z_2) = (z_1) - (z_2) 2 On en déduit (1/z) = -(z), (z^n) = n(z), (z) = -(z) et (-z) = (z) + , toujours modulo 2. Pourquoi ? Si z_1 = r_1(_1 + i_1) et z_2 = r_2(_2 + i_2), les formules d'addition donnent z_1 z_2 = r_1 r_2((_1 + _2) + i(_1 + _2)) : les modules se multiplient, les arguments s'ajoutent. 3. Méthode : argument d'un produit, d'un quotient, d'une puissance 1. Trouver un argument de chaque facteur simple (forme algébrique, puis cosinus et sinus). 2. Combiner : on ajoute pour un produit, on soustrait pour un quotient, on multiplie par n pour une puissance. 3. Si besoin, ramener le résultat dans ]-\,;\,]. Mini-exemple : (i/1 + i) = /2 - /4 = /4 ; en effet i/1 + i = i(1 - i)/2 = 1 + i/2. 4. Attention Ces règles portent sur les produits et quotients, jamais sur les sommes : (1 + i) = /4, alors que (1) + (i) = 0 + /2 = /2.

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