Forme trigonométrique et argument

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• **Forme trigonométrique** : z = r( + i) avec r = |z| > 0 et = (z), défini modulo 2. • **Calcul de ** : = a/r et = b/r pour z = a + ib. • **Produit et quotient** : (zz') = (z) + (z') et (z/z') = (z) - (z') (modulo 2).

Le cours

📌 Définition de l'Argument et Forme Trigonométrique Soit z un nombre complexe non nul (z 0) et M son point image dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct (O; u, v). On appelle argument de z, noté (z), toute mesure en radians de l'angle orienté (u, OM). Il est défini modulo 2 : (z) 2 Tout nombre complexe non nul s'écrit sous forme trigonométrique : z = r( + i) avec r = |z| > 0 et = (z) R Calcul Pratique de r et Calculer le module : r = |z| = a^2 + b^2. Factoriser par r : z = r(a/r + ib/r). Identifier par le système : cases = a/r \\ = b/r cases Propriétés Algébriques des Arguments (z z') (z) + (z') 2 (1/z) -(z) 2 (z/z') (z) - (z') 2 (z^n) n (z) 2 pour tout n Z (z) -(z) 2 et (-z) (z) + 2 ⚠️ Cas Particuliers Immédiats à Connaître par Cœur z > 0 (z) = 0 z z = ib (b>0) (z) = /2 z = ib (b<0) (z) = -/2

Dans ce chapitre

• Angles orientés et mesures sur le cercle trigonométrique de Première
• Formules d'addition et de duplication trigonométriques de Première
• Trigonométrie du cercle, cosinus, sinus et repérage polaire de Première
• Propriétés algébriques des arguments d'un produit et d'un quotient
• Linéarisation trigonométrique et puissances par les formules d'Euler
• Racines n-ièmes de l'unité Un et somme des racines
• Racines n-ièmes d'un nombre complexe quelconque sous forme exponentielle
• Interprétation géométrique du module et argument de (zC - zA)/(zB - zA)
• Caractérisation de l'alignement et orthogonalité par les arguments complexes
• Transformations complexes du plan : translations, homothéties et rotations
• Forme trigonométrique et argument
• Forme exponentielle, formules d'Euler et de Moivre
• Racines n-ièmes de l'unité et géométrie des complexes
• Bilan : Synthèse et méthode sur Nombres complexes : Forme trigonométrique, exponentielle et géométrie