Transformations complexes du plan : translations, homothéties et rotations
Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes
À retenir
• **Translation de vecteur u(b)** : z' = z + b. • **Homothétie (, k)** : z' - = k(z - ). • **Rotation (, )** : z' - = e^i(z - ). • **Point fixe (centre)** de z' = az + b avec a 1 : = b/1 - a, et alors z' - = a(z - ). • Si a R^* \1\ : homothétie de rapport a ; si |a| = 1 et a 1 : rotation d'angle (a).
Le cours
Les transformations géométriques fondamentales du plan s'expriment de manière particulièrement élégante sous forme d'applications complexes z z' : Translation de vecteur u d'affixe b : z' = z + b. Homothétie de centre () et de rapport k R^* : z' - = k(z - ) z' = kz + (1 - k). Rotation de centre () et d'angle R : z' - = e^i(z - ) z' = e^i z + (1 - e^i). Pour une écriture z' = az + b (a 0) : si a = 1, c'est une translation ; si a 1, elle admet un unique point fixe = b/1 - a et s'écrit z' - = a(z - ). C'est alors une homothétie de centre et de rapport a si a est réel, une rotation de centre et d'angle (a) si |a| = 1.
Dans ce chapitre
- Angles orientés et mesures sur le cercle trigonométrique de Première
- Formules d'addition et de duplication trigonométriques de Première
- Trigonométrie du cercle, cosinus, sinus et repérage polaire de Première
- Propriétés algébriques des arguments d'un produit et d'un quotient
- Linéarisation trigonométrique et puissances par les formules d'Euler
- Racines n-ièmes de l'unité Un et somme des racines
- Racines n-ièmes d'un nombre complexe quelconque sous forme exponentielle
- Interprétation géométrique du module et argument de (zC - zA)/(zB - zA)
- Caractérisation de l'alignement et orthogonalité par les arguments complexes
- Transformations complexes du plan : translations, homothéties et rotations
- Forme trigonométrique et argument
- Forme exponentielle, formules d'Euler et de Moivre
- Racines n-ièmes de l'unité et géométrie des complexes
- Bilan : Synthèse et méthode sur Nombres complexes : Forme trigonométrique, exponentielle et géométrie