Caractérisation de l'alignement et orthogonalité par les arguments complexes

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• **Alignement de A, B, C** : z_C - z_A/z_B - z_A R. • **Parallélisme de (AB) et (CD)** : z_D - z_C/z_B - z_A R^* (rapport réel). • **Orthogonalité de (AB) et (CD)** : z_D - z_C/z_B - z_A iR^* (rapport imaginaire pur).

Le cours

1. Alignement de trois points Soient A, B, C trois points distincts d'affixes a, b, c. Ils sont alignés si et seulement si AB et AC sont colinéaires, c'est-à-dire (AB, AC) = 0 : A, B, C alignés c - a/b - a R 2. Parallélisme et orthogonalité de deux droites Pour quatre points A B et C D d'affixes a, b, c, d : (AB) (CD) (AB, CD) = 0 d - c/b - a R^* ; (AB) (CD) (AB, CD) = /2 d - c/b - a iR^*. 3. Méthode 1. Calculer les affixes des vecteurs utiles, par exemple b - a et d - c. 2. Former le quotient et l'écrire sous forme algébrique (multiplier par le conjugué du dénominateur). 3. Partie imaginaire nulle : alignement ou parallélisme. Partie réelle nulle : orthogonalité. Mini-exemple : A(0), B(2 + i), C(-1 + 2i). c - a/b - a = (-1 + 2i)(2 - i)/5 = 5i/5 = i, donc (AB) (AC). 4. Attention Ne pas confondre : quotient réel pour l'alignement ou le parallélisme, imaginaire pur pour l'orthogonalité. Le signe d'un quotient réel apporte une information de plus : c - a/b - a > 0 signifie que B et C sont du même côté de A ; s'il est négatif, A est entre B et C.

Dans ce chapitre

• Angles orientés et mesures sur le cercle trigonométrique de Première
• Formules d'addition et de duplication trigonométriques de Première
• Trigonométrie du cercle, cosinus, sinus et repérage polaire de Première
• Propriétés algébriques des arguments d'un produit et d'un quotient
• Linéarisation trigonométrique et puissances par les formules d'Euler
• Racines n-ièmes de l'unité Un et somme des racines
• Racines n-ièmes d'un nombre complexe quelconque sous forme exponentielle
• Interprétation géométrique du module et argument de (zC - zA)/(zB - zA)
• Caractérisation de l'alignement et orthogonalité par les arguments complexes
• Transformations complexes du plan : translations, homothéties et rotations
• Forme trigonométrique et argument
• Forme exponentielle, formules d'Euler et de Moivre
• Racines n-ièmes de l'unité et géométrie des complexes
• Bilan : Synthèse et méthode sur Nombres complexes : Forme trigonométrique, exponentielle et géométrie