Bilan : Synthèse et méthode sur Nombres complexes : Forme trigonométrique, exponentielle et géométrie

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• **Forme exponentielle** : z = re^i, idéale pour produits, quotients et puissances. • **Rotation** de centre () et d'angle : z' - = e^i(z - ). • **Lieux** : |z - a| = R cercle de centre A et de rayon R ; |z - a| = |z - b| médiatrice de [AB]. • **Triangle équilatéral direct** : z_C - z_A/z_B - z_A = e^i/3 ; **rectangle isocèle direct en A** : z_C - z_A/z_B - z_A = i.

Le cours

🎯 Le Devoir Bilan de Mathématiques Expertes : Nombres Complexes (Partie 2) Cette synthèse bilan réunit les méthodes stratégiques pour exploiter toute la puissance géométrique des nombres complexes : transformations du plan (rotations, homothéties, translations), caractérisation des configurations géométriques par les quotients d'affixes, et résolution des équations du type z^n = Z_0. Méthode 1 : Équation z^n = Z_0 Pour résoudre z^n = Z_0 : écrire Z_0 sous forme exponentielle Z_0 = R e^i et chercher z = r e^i. On obtient r^n = R r = [n]R et n + 2k _k = + 2k/n pour k \0, , n-1\. Les solutions forment les sommets d'un polygone régulier centré en O. Méthode 2 : Écritures Complexes Translation de vecteur u(w) : z' = z + w. Homothétie de centre () et rapport k R^* : z' - = k(z - ). Rotation de centre () et d'angle : z' - = e^i(z - ). Méthode 3 : Lieux Géométriques |z - a| = R M décrit le cercle de centre A(a) et de rayon R. |z - a| = |z - b| MA = MB M décrit la médiatrice du segment [AB]. (z - a) M décrit la demi-droite d'origine A exclue faisant un angle avec l'axe (Ox). Guide Décisionnel : Quelle forme choisir ? Forme algébrique z = a + ib : À privilégier pour les additions, soustractions, systèmes linéaires, équations d'inconnues x et y, et calculs de parties réelles et imaginaires. Forme exponentielle z = r e^i : À privilégier pour les multiplications, divisions, puissances entières (z^n), racines n-ièmes, calculs d'angles, rotations et distances.

Dans ce chapitre