Racines n-ièmes d'un nombre complexe quelconque sous forme exponentielle

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• Tout complexe non nul Z = R e^i (R > 0) admet **exactement n racines n-ièmes** : z_k = [n]R \, e^i(/n + 2k/n) pour k \0, 1, , n - 1\ • Le module de chaque racine est [n]R = R^1/n. • On obtient toutes les racines en multipliant une racine particulière z_0 = [n]Re^i/n par les n racines de l'unité U_n : z_k = z_0 _k.

Le cours

1. Le résultat Soit n 2 et Z = Re^i un nombre complexe non nul (R > 0). L'équation z^n = Z admet exactement n solutions dans C, les racines n-ièmes de Z : z_k = [n]R\; e^i(/n + 2k/n), k \0, 1, , n - 1\ 2. Méthode par identification 1. Écrire le second membre sous forme exponentielle Re^i. 2. Poser z = re^i avec r > 0 : l'équation devient r^n e^in = Re^i. 3. Identifier les modules : r^n = R, donc r = [n]R (seule solution positive). 4. Identifier les arguments à 2 près : n = + 2k, donc = /n + 2k/n, et prendre k = 0, 1, , n - 1. 3. Lien avec les racines de l'unité Si z_0 = [n]R\,e^i/n, toutes les solutions sont les produits z_0\,_k où _k = e^i2k/n parcourt U_n. Leurs images sont donc les sommets d'un polygone régulier à n côtés, centré en O, inscrit dans le cercle de rayon [n]R. 4. Attention Ne pas s'arrêter à la première racine : z^2 = 4i a deux solutions. Comme 4i = 4e^i/2, on trouve z = 2e^i/4 = 2 + i2 et son opposé -2 - i2. Le pas entre deux arguments consécutifs est 2/n : on divise aussi le 2k par n.

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