Interprétation géométrique du module et argument de (zC - zA)/(zB - zA)

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• |z_C - z_A/z_B - z_A| = AC/AB. • (z_C - z_A/z_B - z_A) = (AB, AC) [2]. • **Triangle isocèle en A** : |z_C - z_A/z_B - z_A| = 1 AB = AC. • **Triangle rectangle en A** : (z_C - z_A/z_B - z_A) = /2 [2] z_C - z_A/z_B - z_A iR^*. • **Triangle équilatéral direct** : z_C - z_A/z_B - z_A = e^i/3.

Le cours

1. Module et argument du quotient Soient A, B, C trois points deux à deux distincts d'affixes z_A, z_B, z_C. On sait que |z_C - z_A| = AC et qu'un argument de z_C - z_A mesure (u, AC). Pour le quotient Z = z_C - z_A/z_B - z_A : |Z| = AC/AB (Z) = (AB, AC) 2 Justification de l'argument par la relation de Chasles : (z_C - z_A) - (z_B - z_A) = (u, AC) - (u, AB) = (AB, AC). 2. Lire la nature du triangle ABC |Z| = 1 : AB = AC, le triangle est isocèle en A. Z imaginaire pur non nul : (AB, AC) = /2, le triangle est rectangle en A. Z = i ou Z = -i : le triangle est rectangle et isocèle en A. Z = e^i/3 ou Z = e^-i/3 : le triangle est équilatéral. Z réel : A, B, C sont alignés. 3. Attention Mettre Z sous forme algébrique (en multipliant par le conjugué du dénominateur) avant de lire son module et son argument. Mini-exemple : avec A(0), B(1) et C(1 + i), Z = 1 + i = 2\,e^i/4, donc AC = 2\,AB et (AB, AC) = /4. Le point commun A est l'origine des deux vecteurs.

Dans ce chapitre

• Angles orientés et mesures sur le cercle trigonométrique de Première
• Formules d'addition et de duplication trigonométriques de Première
• Trigonométrie du cercle, cosinus, sinus et repérage polaire de Première
• Propriétés algébriques des arguments d'un produit et d'un quotient
• Linéarisation trigonométrique et puissances par les formules d'Euler
• Racines n-ièmes de l'unité Un et somme des racines
• Racines n-ièmes d'un nombre complexe quelconque sous forme exponentielle
• Interprétation géométrique du module et argument de (zC - zA)/(zB - zA)
• Caractérisation de l'alignement et orthogonalité par les arguments complexes
• Transformations complexes du plan : translations, homothéties et rotations
• Forme trigonométrique et argument
• Forme exponentielle, formules d'Euler et de Moivre
• Racines n-ièmes de l'unité et géométrie des complexes
• Bilan : Synthèse et méthode sur Nombres complexes : Forme trigonométrique, exponentielle et géométrie