Formules d'addition et de duplication trigonométriques de Première

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• (a + b) = a b - a b • (a - b) = a b + a b • (a + b) = a b + a b • (a - b) = a b - a b • **Duplication** : (2a) = ^2 a - ^2 a = 2^2 a - 1 = 1 - 2^2 a et (2a) = 2 a a.

Le cours

1. Formules d'addition Pour tous réels a et b, le cosinus et le sinus d'une somme ou d'une différence s'expriment avec les cosinus et sinus de a et de b : (a + b) = a b - a b (a + b) = a b + a b En remplaçant b par -b (le cosinus est pair, le sinus impair), on obtient (a - b) = a b + a b et (a - b) = a b - a b. 2. Formules de duplication Avec b = a, puis ^2 a + ^2 a = 1 : (2a) = 2 a a (2a) = ^2 a - ^2 a = 2^2 a - 1 = 1 - 2^2 a 3. Méthode : valeur exacte d'un angle non remarquable 1. Écrire l'angle comme somme ou différence de deux angles remarquables : /12 = /3 - /4, 5/12 = /4 + /6, 7/12 = /3 + /4. 2. Appliquer la formule d'addition adaptée, puis remplacer par les valeurs remarquables. Mini-exemple : (/12) = /3/4 - /3/4 = 64 - 24 = 6 - 24 0,259. 4. Lien avec les nombres complexes En développant ( a + i a)( b + i b), la partie réelle vaut a b - a b et la partie imaginaire a b + a b : ce sont exactement (a + b) et (a + b). C'est la traduction trigonométrique de e^ia e^ib = e^i(a+b) ; on retrouve ainsi les formules d'addition en une ligne.

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