Suites géométriques et raisonnement par récurrence, outils des suites matricielles

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• Suite géométrique : u_n+1 = q\,u_n et u_n = u_0 q^n. • Si u_n+1 = a u_n + b avec a 1 et = a + b, la suite v_n = u_n - est géométrique de raison a. • Récurrence : initialisation au rang n_0, hérédité « P(n) vraie entraîne P(n+1) vraie », puis conclusion pour tout n n_0.

Le cours

1. Suites géométriques (Première) Une suite (u_n) est géométrique de raison q si, pour tout n N, u_n+1 = q u_n. On a alors : u_n = u_0 q^n u_n = u_p q^n-p et, pour q 1, 1 + q + q^2 + + q^n = 1 - q^n+11 - q. Exemple : u_0 = 2, q = 3 donne u_3 = 2 27 = 54. 2. Suites arithmético-géométriques Si u_n+1 = a u_n + b avec a 1, on cherche le réel tel que = a + b. La suite v_n = u_n - vérifie alors v_n+1 = a v_n : elle est géométrique de raison a, et u_n = + (u_0 - )\,a^n. Les suites de matrices colonnes U_n+1 = AU_n + B se traitent exactement de la même façon. 3. Raisonnement par récurrence (spécialité de Terminale) Vu en début d'année de spécialité, il prouve qu'une propriété P(n) est vraie pour tout entier n n_0 : 1. Initialisation : vérifier que P(n_0) est vraie. 2. Hérédité : pour un entier n n_0 fixé, supposer P(n) vraie et en déduire P(n+1). 3. Conclusion : P(n) est vraie pour tout n n_0. 4. Attention Les deux étapes sont indispensables. En calcul matriciel, la récurrence sert sans cesse : prouver une formule de A^n conjecturée sur les premières puissances, ou établir U_n = A^n U_0.

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