Introduction à la diagonalisation des matrices 2x2

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• A est diagonalisable si A = PDP^-1 avec P inversible et D diagonale. • Si AV = V avec V 0, est une valeur propre et V un vecteur propre associé. • Les colonnes de P sont des vecteurs propres, rangés dans le même ordre que les valeurs propres sur la diagonale de D. • Pour tout entier naturel n, A^n = PD^nP^-1.

Le cours

1. Matrice diagonalisable Une matrice carrée A est diagonalisable s'il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale D telles que : A = PDP^-1 D = P^-1AP 2. Valeurs propres et vecteurs propres Si une matrice colonne V 0 vérifie AV = V, on dit que est une valeur propre de A et V un vecteur propre associé. Si AV_1 = _1V_1, AV_2 = _2V_2 et si la matrice P de colonnes V_1, V_2 est inversible, alors AP = PD avec D = pmatrix _1 & 0 \\ 0 & _2 pmatrix, d'où A = PDP^-1. 3. Calcul des puissances Les facteurs P^-1P se simplifient en cascade : A^2 = PDP^-1PDP^-1 = PD^2P^-1, et par récurrence, pour tout n N : A^n = PD^nP^-1 1. Vérifier ou obtenir P et D (souvent donnés par l'énoncé). 2. Calculer P^-1 et D^n. 3. Effectuer PD^n, puis multiplier à droite par P^-1. 4. Attention Toutes les matrices ne sont pas diagonalisables : pmatrix 1 & 1 \\ 0 & 1 pmatrix n'a que 1 pour valeur propre ; si elle était diagonalisable, on aurait D = I_2 et A = PI_2P^-1 = I_2, ce qui est faux.

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