Produit matriciel et non-commutativité

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• AB existe si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B : (n p)(p m) donne n m. • c_i,j : ligne i de A multipliée par colonne j de B, terme à terme, puis somme. • En général AB BA, et AB = 0 n'entraîne ni A = 0 ni B = 0. • (A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2.

Le cours

1. Condition d'existence Le produit AB est défini si et seulement si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B : A_(n p) B_(p m) = C_(n m) 2. Calcul d'un coefficient Le coefficient c_i,j s'obtient en multipliant la ligne i de A par la colonne j de B, terme à terme, puis en additionnant : c_i,j = a_i,1b_1,j + a_i,2b_2,j + + a_i,pb_p,j Exemple : pmatrix 1 & 2 pmatrixpmatrix 3 \\ 4 pmatrix = 1 3 + 2 4 = 11. 3. Propriétés Le produit est associatif, (AB)C = A(BC), distributif, A(B + C) = AB + AC, et ( A)B = (AB). La matrice identité est neutre : AI = IA = A. 4. Ce qui change par rapport aux nombres En général AB BA : le produit n'est pas commutatif. Un produit peut être nul sans qu'aucun facteur ne soit nul. Par conséquent (A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2, qui n'est égal à A^2 + 2AB + B^2 que si AB = BA.

Dans ce chapitre