Opérations matricielles, produit et inverse

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• Le coefficient (i, j) de AB s'obtient en multipliant la ligne i de A par la colonne j de B. • A est inversible (A) 0. • Pour l'ordre 2 : A^-1 = 1/ad - bcpmatrix d & -b \\ -c & a pmatrix. • Si AX = Y et A inversible, alors X = A^-1Y.

Le cours

Produit matriciel Le produit A B n'est défini que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. Si A est de dimension (n p) et B de dimension (p q), alors C = AB est de dimension (n q) avec : c_ij = _k=1^p a_ik b_kj = a_i1b_1j + a_i2b_2j + + a_ipb_pj Attention : en général, le produit matriciel n'est pas commutatif (AB BA). Inverse d'une matrice carrée d'ordre 2 Une matrice carrée A est dite inversible s'il existe une matrice B telle que AB = BA = I_n. On note alors B = A^-1. Pour une matrice d'ordre 2, A = pmatrix a & b \\ c & d pmatrix : Son déterminant est (A) = ad - bc. A est inversible si et seulement si (A) 0. Dans ce cas : A^-1 = 1/ad - bc pmatrix d & -b \\ -c & a pmatrix Résolution d'un système linéaire Le système cases ax + by = e \\ cx + dy = f cases s'écrit sous forme matricielle AX = Y avec A = pmatrix a & b \\ c & d pmatrix, X = pmatrix x \\ y pmatrix, Y = pmatrix e \\ f pmatrix. Si A est inversible, la solution unique est donnée par : X = A^-1Y

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