Calcul des puissances d'une matrice carrée

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• A^0 = I, A^n+1 = A^n A et A^nA^m = A^n+m. • Si D est diagonale, D^n s'obtient en élevant chaque coefficient diagonal à la puissance n. • Si A = I + N avec N^2 = 0, alors A^n = ^n I + n^n-1N pour n 1. • Le binôme de Newton (A + B)^n ne s'applique que si AB = BA.

Le cours

1. Définition Pour une matrice carrée A d'ordre n, on pose A^0 = I_n et, pour tout entier naturel k, A^k+1 = A^k A. Les règles usuelles restent vraies pour une même matrice : A^kA^m = A^k+m et (A^k)^m = A^km. 2. Matrices diagonales Pour une matrice diagonale, il suffit d'élever chaque coefficient diagonal à la puissance n : D = pmatrix a & 0 \\ 0 & b pmatrix D^n = pmatrix a^n & 0 \\ 0 & b^n pmatrix 3. Méthode 1 : conjecturer puis démontrer 1. Calculer A^2, A^3 (voire A^4) à la main ou à la calculatrice. 2. Conjecturer la forme de A^n. 3. Démontrer la conjecture par récurrence, en utilisant A^n+1 = A^n A. 4. Méthode 2 : écrire A = I + N Si A et B commutent (AB = BA), la formule du binôme de Newton s'applique : (A + B)^n = _k=0^n nk A^k B^n-k. La matrice I commute avec toute matrice N ; si de plus N^2 = 0, tous les termes à partir de k = 2 s'annulent : ( I + N)^n = ^n I + n^n-1N (n 1) 5. Attention Pour une matrice non diagonale, A^n ne s'obtient pas en élevant chaque coefficient à la puissance n : pmatrix 1 & 1 \\ 0 & 1 pmatrix^2 = pmatrix 1 & 2 \\ 0 & 1 pmatrix et non pmatrix 1 & 1 \\ 0 & 1 pmatrix.

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