Suites de matrices colonnes et relations de récurrence

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• U_n+1 = AU_n donne U_n = A^nU_0 pour tout n. • Pour U_n+1 = AU_n + B, la suite constante C vérifie (I - A)C = B. • V_n = U_n - C vérifie V_n+1 = AV_n, d'où U_n = A^n(U_0 - C) + C.

Le cours

1. Suites de matrices colonnes Deux suites couplées cases x_n+1 = ax_n + by_n + e \\ y_n+1 = cx_n + dy_n + f cases s'écrivent avec la matrice colonne U_n = pmatrix x_n \\ y_n pmatrix : U_n+1 = AU_n + B avec A = pmatrix a & b \\ c & d pmatrix, \; B = pmatrix e \\ f pmatrix 2. Cas U_n+1 = AU_n Par récurrence, U_n = A^nU_0 pour tout n N : U_n+1 = AU_n = A A^nU_0 = A^n+1U_0. Tout se ramène au calcul de A^n. 3. Cas U_n+1 = AU_n + B : méthode en trois étapes 1. Suite constante : chercher C telle que C = AC + B, soit (I - A)C = B ; si I - A est inversible, C = (I - A)^-1B. 2. Changement de suite : V_n = U_n - C vérifie V_n+1 = AU_n + B - (AC + B) = AV_n, donc V_n = A^nV_0. 3. Formule explicite : U_n = A^n(U_0 - C) + C. 4. Attention De C = AC + B on tire C - AC = B, c'est-à-dire (I - A)C = B : attention au signe et à l'écriture I - A (et non 1 - A). Si A^n tend vers la matrice nulle, U_n tend vers l'état stable C.

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