Puissances de matrices et suites matricielles

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• A^0 = I et A^n+1 = A^n A. • Si A = PDP^-1 avec D diagonale, alors A^n = PD^nP^-1. • Pour une suite X_n+1 = AX_n, on a X_n = A^nX_0.

Le cours

Puissances d'une matrice carrée Pour une matrice carrée A, on définit par récurrence : A^0 = I_n et pour tout k N, A^k+1 = A^k A = A A^k. Cas d'une matrice diagonale : Si D = pmatrix _1 & 0 \\ 0 & _2 pmatrix, alors pour tout n N, D^n = pmatrix _1^n & 0 \\ 0 & _2^n pmatrix. Calcul de A^n par changement de base / diagonalisation S'il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale D telles que A = PDP^-1, alors par récurrence immédiate (produit télescopique) : A^n = P D^n P^-1 Suites récurrentes linéaires couplées Un système de suites couplées de la forme cases u_n+1 = a u_n + b v_n \\ v_n+1 = c u_n + d v_n cases se traduit matriciellement par : X_n+1 = A X_n X_n = A^n X_0 avec X_n = pmatrix u_n \\ v_n pmatrix Le calcul explicite de A^n fournit directement les expressions explicites de u_n et v_n en fonction de n.

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