Matrice identité et inversion des matrices carrées d'ordre 2

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• I_2 = pmatrix 1 & 0 \\ 0 & 1 pmatrix et AI_2 = I_2A = A pour toute matrice carrée A d'ordre 2. • A est inversible s'il existe B telle que AB = BA = I ; on note B = A^-1. • Pour A = pmatrix a & b \\ c & d pmatrix : A inversible ad - bc 0. • Dans ce cas, A^-1 = 1/ad - bcpmatrix d & -b \\ -c & a pmatrix.

Le cours

1. Matrice identité La matrice identité d'ordre n, notée I_n, est la matrice carrée dont la diagonale ne contient que des 1 et dont les autres coefficients sont nuls. Pour toute matrice carrée A d'ordre n, AI_n = I_nA = A. I_2 = pmatrix 1 & 0 \\ 0 & 1 pmatrix I_3 = pmatrix 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 pmatrix 2. Matrice inversible Une matrice carrée A d'ordre n est inversible s'il existe une matrice B telle que AB = BA = I_n. Cette matrice est unique ; on la note A^-1. Pour l'ordre 2, avec A = pmatrix a & b \\ c & d pmatrix : A inversible (A) = ad - bc 0 et alors A^-1 = 1/ad - bcpmatrix d & -b \\ -c & a pmatrix 3. Méthode pour l'ordre 2 1. Calculer ad - bc ; s'il est nul, A n'est pas inversible. 2. Échanger a et d, changer le signe de b et de c, diviser par ad - bc. 3. Exemple : pmatrix 2 & 1 \\ 1 & 1 pmatrix a pour déterminant 1 et pour inverse pmatrix 1 & -1 \\ -1 & 2 pmatrix. 4. Vérifier en calculant AA^-1, qui doit valoir I_2. 4. Attention Une matrice non carrée n'a jamais d'inverse, et l'on n'écrit jamais 1/A. Si une matrice vérifie une relation comme A^2 - 3A + 2I_2 = 0, on peut obtenir A^-1 en factorisant, sans calculer de déterminant.

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