Résolution de systèmes linéaires par inversion matricielle

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• Le système cases ax + by = e \\ cx + dy = f cases s'écrit AX = B avec A = pmatrix a & b \\ c & d pmatrix. • Si (A) 0, la solution est unique : X = A^-1B (multiplication à gauche). • Si (A) = 0, le système a aucune solution ou une infinité, jamais une seule.

Le cours

1. Écriture matricielle d'un système Le système cases ax + by = e \\ cx + dy = f cases s'écrit AX = B avec : A = pmatrix a & b \\ c & d pmatrix, X = pmatrix x \\ y pmatrix, B = pmatrix e \\ f pmatrix Chaque ligne de A contient les coefficients d'une équation, chaque colonne ceux d'une inconnue. 2. Théorème Si A est inversible ((A) 0), le système a une unique solution : X = A^-1B. En effet, en multipliant AX = B à gauche par A^-1, on obtient A^-1AX = A^-1B, c'est-à-dire I_2X = X = A^-1B. 3. Méthode sur un exemple 1. cases 2x - y = 4 \\ x + 3y = 9 cases donne A = pmatrix 2 & -1 \\ 1 & 3 pmatrix et B = pmatrix 4 \\ 9 pmatrix. 2. (A) = 2 3 - (-1) 1 = 7 0, donc A^-1 = 1/7pmatrix 3 & 1 \\ -1 & 2 pmatrix. 3. X = A^-1B = 1/7pmatrix 12 + 9 \\ -4 + 18 pmatrix = pmatrix 3 \\ 2 pmatrix. 4. Vérification : 2 3 - 2 = 4 et 3 + 3 2 = 9. 4. Attention On multiplie à gauche : X = A^-1B. Le produit BA^-1 n'existe même pas (B est de format 2 1, A^-1 de format 2 2). Si (A) = 0, la méthode ne s'applique pas : le système a alors soit aucune solution, soit une infinité.

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