Fonction exponentielle : variations, limites et équations de Première

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• Pour tout x R, e^x > 0 et e^0 = 1. • La fonction exponentielle est strictement croissante sur R : e^a = e^b a = b et e^a < e^b a < b • Limites aux bornes : _x - e^x = 0 et _x + e^x = + • Dérivée : (e^x)' = e^x.

Le cours

1. Définition et signe La fonction exponentielle est l'unique fonction f dérivable sur R telle que f' = f et f(0) = 1. On note f(x) = (x) = e^x, avec e = e^1 2,718. e^0 = 1 (e^x)' = e^x e^x > 0 \ pour tout réel x La courbe de l'exponentielle est donc toujours située strictement au-dessus de l'axe des abscisses et coupe l'axe des ordonnées au point (0\,;\,1). 2. Variations et limites Comme (e^x)' = e^x > 0, la fonction exponentielle est strictement croissante sur R. Elle prend des valeurs aussi proches de 0 que l'on veut vers la gauche et aussi grandes que l'on veut vers la droite : _x - e^x = 0 _x + e^x = + Repères numériques : e^-3 0,05, e^1 2,72, e^3 20,1. 3. Méthode : équation ou inéquation avec exponentielles 1. Isoler les exponentielles dans chaque membre. 2. Écrire chaque membre sous la forme e^ (penser à 1 = e^0 et e = e^1). 3. Utiliser la stricte croissance : e^a = e^b a = b et e^a 4. Résoudre l'équation ou l'inéquation obtenue sur les exposants, puis écrire l'ensemble des solutions. Exemple : e^x - 2 > 1 e^x - 2 > e^0 x - 2 > 0 x > 2, donc S = ]2\,;\,+[. 4. Attention Une équation e^u(x) = k avec k 0 n'a aucune solution, et une inéquation e^u(x) > k avec k 0 est vraie pour tout x où u(x) est défini.

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