Fonctions puissances d'exposant réel et croissances comparées

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• **Définition de la puissance réelle** : Pour x > 0 et R, x^ = e^ (x). • **Dérivée** : (x^)' = x^ - 1. • **Croissances comparées fondamentales en +** : _x + e^x/x^n = + (n > 0) _x + (x)/x^n = 0 (n > 0) • **En zéro** : _x 0^+ x^n (x) = 0 pour tout n > 0.

Le cours

1. Puissance d'exposant réel Pour tout réel et tout x > 0, on définit : x^ = e^ (x) Cette définition prolonge les puissances connues : x^1/2 = x, x^-1 = 1/x. Les règles de calcul restent valables : x^a x^b = x^a + b, (x^a)^b = x^ab et (x^) = (x). 2. Dérivée et variations En dérivant e^(x), on obtient (x^)' = /x\,x^ = \,x^ - 1 sur ]0\,;\,+[. La fonction x x^ est donc strictement croissante si > 0 et strictement décroissante si 3. Croissances comparées Pour tout entier n 1 : _x + e^x/x^n = + _x + (x)/x^n = 0 _x 0^+ x^n (x) = 0 Hiérarchie en + : l'exponentielle l'emporte sur les puissances, qui l'emportent sur le logarithme. 4. Méthode : lever une forme indéterminée 1. Repérer la forme indéterminée (par exemple « - »). 2. Factoriser par le terme prépondérant. 3. Conclure avec une limite de croissance comparée et les opérations sur les limites. Exemple : e^x - x^3 = x^3(e^x/x^3 - 1) ; comme e^x/x^3 +, on obtient _x +(e^x - x^3) = +.

Dans ce chapitre

• Propriétés algébriques de la fonction exponentielle de Première
• Fonction exponentielle : variations, limites et équations de Première
• Calcul de dérivées et étude de fonctions comportant l'exponentielle de Première
• Fonction logarithme népérien et dérivée de (u(x))
• Primitives et calcul intégral
• Définition et ensemble de définition de la fonction logarithme népérien
• Propriétés algébriques fondamentales du logarithme népérien
• Résolution d'équations et inéquations comportant (x) et e^x
• Dérivée et variations de la fonction composée ln(u)
• Fonctions puissances d'exposant réel et croissances comparées
• Notion de primitive d'une fonction continue sur un intervalle
• Primitives des fonctions de référence et formes usuelles
• Intégrale d'une fonction continue et positive comme aire sous la courbe
• Bilan : Synthèse et méthode sur Fonctions logarithme, puissances et calcul intégral