Propriétés algébriques fondamentales du logarithme népérien

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

Pour tous réels a > 0 et b > 0 : • **Produit** : (a b) = (a) + (b). • **Inverse** : (1/b) = -(b). • **Quotient** : (a/b) = (a) - (b). • **Puissance entière ou réelle** : (a^n) = n (a). • **Racine carrée** : (a) = 1/2 (a).

Le cours

1. Relation fonctionnelle Pour tous réels a > 0 et b > 0, le logarithme transforme un produit en somme : (a b) = (a) + (b) Justification : e^(a) + (b) = e^(a) e^(b) = ab = e^(ab), et deux exponentielles égales ont des exposants égaux. 2. Propriétés qui en découlent Pour a > 0, b > 0 et n entier relatif : (1/b) = -(b) (a/b) = (a) - (b) (a^n) = n(a) (a) = 1/2(a) 3. Méthode : simplifier ou exprimer un logarithme 1. Décomposer les nombres en produits de facteurs premiers ou de puissances. 2. Transformer produits en sommes, quotients en différences, exposants en coefficients. 3. Regrouper les termes semblables. Exemple : (50) - 2(5) = (50) - (25) = (50/25) = (2). 4. Attention Ces règles exigent des nombres strictement positifs : ((-2) (-3)) = (6) existe, mais (-2) + (-3) n'a aucun sens. De même, (2 + 3) = (5) 1,61 alors que (2) + (3) = (6) 1,79.

Dans ce chapitre

• Propriétés algébriques de la fonction exponentielle de Première
• Fonction exponentielle : variations, limites et équations de Première
• Calcul de dérivées et étude de fonctions comportant l'exponentielle de Première
• Fonction logarithme népérien et dérivée de (u(x))
• Primitives et calcul intégral
• Définition et ensemble de définition de la fonction logarithme népérien
• Propriétés algébriques fondamentales du logarithme népérien
• Résolution d'équations et inéquations comportant (x) et e^x
• Dérivée et variations de la fonction composée ln(u)
• Fonctions puissances d'exposant réel et croissances comparées
• Notion de primitive d'une fonction continue sur un intervalle
• Primitives des fonctions de référence et formes usuelles
• Intégrale d'une fonction continue et positive comme aire sous la courbe
• Bilan : Synthèse et méthode sur Fonctions logarithme, puissances et calcul intégral