Calcul de dérivées et étude de fonctions comportant l'exponentielle de Première

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• Formule de dérivation composée : (e^u)' = u' e^u. • Produit avec une fonction affine : (u e^v)' = u' e^v + u (v' e^v) = (u' + u v') e^v. • Règle de signe : comme e^u(x) > 0 pour tout x, le signe de (u' e^u) est exactement celui de u'.

Le cours

1. Dérivée de e^u Si u est dérivable sur un intervalle I, la fonction x e^u(x) est dérivable sur I et : (e^u)' = u' \, e^u Cas usuel : (e^ax + b)' = a\,e^ax + b. Par exemple (e^x^2)' = 2x\,e^x^2 et (e^-x)' = -e^-x. On combine cette formule avec les règles de Première : (uv)' = u'v + uv' et (u/v)' = u'v - uv'/v^2. 2. Méthode : étudier une fonction comportant une exponentielle 1. Préciser l'intervalle d'étude et justifier la dérivabilité. 2. Calculer f'(x) (produit, quotient ou composée). 3. Factoriser par l'exponentielle, qui est strictement positive. 4. Étudier le signe du facteur restant (fonction affine, trinôme...). 5. Dresser le tableau de variations et calculer les extremums. Exemple : f(x) = x\,e^-x : f'(x) = e^-x - x\,e^-x = (1 - x)\,e^-x, du signe de 1 - x. Donc f est croissante sur ]-\,;\,1], décroissante sur [1\,;\,+[, de maximum f(1) = e^-1 0,37. 3. Attention Pour un quotient comme e^x/x, on obtient e^x x - e^x 1/x^2 = (x - 1)\,e^x/x^2 : le signe dépend de x - 1 seulement, car e^x > 0 et x^2 > 0 pour x 0.

Dans ce chapitre

• Propriétés algébriques de la fonction exponentielle de Première
• Fonction exponentielle : variations, limites et équations de Première
• Calcul de dérivées et étude de fonctions comportant l'exponentielle de Première
• Fonction logarithme népérien et dérivée de (u(x))
• Primitives et calcul intégral
• Définition et ensemble de définition de la fonction logarithme népérien
• Propriétés algébriques fondamentales du logarithme népérien
• Résolution d'équations et inéquations comportant (x) et e^x
• Dérivée et variations de la fonction composée ln(u)
• Fonctions puissances d'exposant réel et croissances comparées
• Notion de primitive d'une fonction continue sur un intervalle
• Primitives des fonctions de référence et formes usuelles
• Intégrale d'une fonction continue et positive comme aire sous la courbe
• Bilan : Synthèse et méthode sur Fonctions logarithme, puissances et calcul intégral