Notion de primitive d'une fonction continue sur un intervalle

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• **Définition** : F est une primitive de f sur I x I, F'(x) = f(x). • **Ensemble des primitives** : Toutes les primitives de f sur un intervalle diffèrent d'une constante : F(x) + C. • **Condition initiale (unicité)** : Il existe une unique primitive F_0 de f sur I vérifiant la condition F_0(x_0) = y_0 (pour x_0 I et y_0 R fixés).

Le cours

1. Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Une primitive de f sur I est une fonction F dérivable sur I telle que : F'(x) = f(x) pour tout x I Exemple : F(x) = x^2 + 3x est une primitive de f(x) = 2x + 3 sur R, car F'(x) = 2x + 3. Chercher une primitive, c'est faire le chemin inverse de la dérivation. 2. Existence et ensemble des primitives Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I (résultat admis). Si F est l'une d'elles, les primitives de f sur I sont exactement les fonctions x F(x) + C, avec C réel : on parle d'« une » primitive, jamais de « la » primitive. Pour x_0 I et y_0 réel donnés, il existe une unique primitive F vérifiant F(x_0) = y_0. 3. Méthode 1. Pour vérifier qu'une fonction F donnée est une primitive de f : dériver F et comparer avec f. 2. Pour trouver la primitive vérifiant F(x_0) = y_0 : écrire la forme générale F(x) + C. 3. Remplacer x par x_0, résoudre l'équation d'inconnue C et écrire la primitive obtenue.

Dans ce chapitre

• Propriétés algébriques de la fonction exponentielle de Première
• Fonction exponentielle : variations, limites et équations de Première
• Calcul de dérivées et étude de fonctions comportant l'exponentielle de Première
• Fonction logarithme népérien et dérivée de (u(x))
• Primitives et calcul intégral
• Définition et ensemble de définition de la fonction logarithme népérien
• Propriétés algébriques fondamentales du logarithme népérien
• Résolution d'équations et inéquations comportant (x) et e^x
• Dérivée et variations de la fonction composée ln(u)
• Fonctions puissances d'exposant réel et croissances comparées
• Notion de primitive d'une fonction continue sur un intervalle
• Primitives des fonctions de référence et formes usuelles
• Intégrale d'une fonction continue et positive comme aire sous la courbe
• Bilan : Synthèse et méthode sur Fonctions logarithme, puissances et calcul intégral