Définition et ensemble de définition de la fonction logarithme népérien

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• **Définition** : Pour tout x > 0 et tout y R, (x) = y e^y = x. • **Ensemble de définition** : D_ = ]0 ; +[ (strictement positif). • **Valeurs particulières** : (1) = 0 et (e) = 1. • **Relations fondamentales** : - Pour tout x > 0 : e^(x) = x. - Pour tout x R : (e^x) = x.

Le cours

1. Définition Pour tout réel y > 0, l'équation e^x = y admet une unique solution réelle, notée (y). La fonction logarithme népérien x (x) est ainsi la fonction réciproque de l'exponentielle : pour x > 0 et y R : (x) = y x = e^y Elle n'est définie que sur ]0\,;\,+[ : on ne calcule jamais le logarithme d'un nombre négatif ou nul. 2. Conséquences immédiates Pour tout x > 0, e^(x) = x ; pour tout réel x, (e^x) = x. En particulier (1) = 0 (car e^0 = 1) et (e) = 1. Exemples : (e^-4) = -4 et e^ 7 = 7. Dans un repère orthonormé, les courbes de et de sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x. 3. Méthode : ensemble de définition de (u(x)) 1. Écrire la condition u(x) > 0 (inégalité stricte). 2. Résoudre cette inéquation (signe d'une fonction affine, d'un trinôme ou tableau de signes d'un quotient). 3. Donner l'ensemble de définition sous forme d'intervalle ou de réunion d'intervalles. Exemple : f(x) = (x^2 - 4x) : x(x - 4) > 0 x 4 (trinôme positif à l'extérieur de ses racines 0 et 4), donc D_f = ]-\,;\,0[\ \ ]4\,;\,+[. 4. Attention (x^2) est définie pour tout x 0, alors que 2(x) ne l'est que pour x > 0 : ces deux expressions ne sont égales que sur ]0\,;\,+[.

Dans ce chapitre

• Propriétés algébriques de la fonction exponentielle de Première
• Fonction exponentielle : variations, limites et équations de Première
• Calcul de dérivées et étude de fonctions comportant l'exponentielle de Première
• Fonction logarithme népérien et dérivée de (u(x))
• Primitives et calcul intégral
• Définition et ensemble de définition de la fonction logarithme népérien
• Propriétés algébriques fondamentales du logarithme népérien
• Résolution d'équations et inéquations comportant (x) et e^x
• Dérivée et variations de la fonction composée ln(u)
• Fonctions puissances d'exposant réel et croissances comparées
• Notion de primitive d'une fonction continue sur un intervalle
• Primitives des fonctions de référence et formes usuelles
• Intégrale d'une fonction continue et positive comme aire sous la courbe
• Bilan : Synthèse et méthode sur Fonctions logarithme, puissances et calcul intégral