Fonction logarithme népérien et dérivée de (u(x))

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• est définie et strictement croissante sur ]0\,;\,+[, avec ( x)' = 1/x. • Pour u dérivable et strictement positive : ((u))' = u'/u. • Croissances comparées : _x + x/x = 0 et _x 0^+ x x = 0.

Le cours

La fonction logarithme népérien La fonction est définie sur ]0\,;\,+[ comme réciproque de l'exponentielle : pour x > 0, (x) = y x = e^y. Elle est dérivable, de dérivée ( x)' = 1/x > 0 : elle est donc strictement croissante, avec (1) = 0 et (e) = 1. Dérivation de (u(x)) Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La fonction f = (u) est dérivable sur I et sa dérivée est donnée par : ((u))' = u'/u Exemple : sur ]-2/5\,;\,+[, ((5x + 2))' = 5/5x + 2. Comme u > 0, le signe de ( u)' est celui de u'. Croissances comparées usuelles Au voisinage de l'infini, la puissance l'emporte toujours sur le logarithme : _x + (x)/x = 0 et _x 0^+ x (x) = 0 Dérivée logarithmique et taux de croissance En économie et dynamique des populations, le quotient u'(t)/u(t) = ( u)'(t) représente le taux de croissance relatif instantané de la grandeur u.

Dans ce chapitre

• Propriétés algébriques de la fonction exponentielle de Première
• Fonction exponentielle : variations, limites et équations de Première
• Calcul de dérivées et étude de fonctions comportant l'exponentielle de Première
• Fonction logarithme népérien et dérivée de (u(x))
• Primitives et calcul intégral
• Définition et ensemble de définition de la fonction logarithme népérien
• Propriétés algébriques fondamentales du logarithme népérien
• Résolution d'équations et inéquations comportant (x) et e^x
• Dérivée et variations de la fonction composée ln(u)
• Fonctions puissances d'exposant réel et croissances comparées
• Notion de primitive d'une fonction continue sur un intervalle
• Primitives des fonctions de référence et formes usuelles
• Intégrale d'une fonction continue et positive comme aire sous la courbe
• Bilan : Synthèse et méthode sur Fonctions logarithme, puissances et calcul intégral