Primitives des fonctions de référence et formes usuelles

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

Tableau des primitives usuelles (à une constante près) : • f(x) = x^n (n N) F(x) = x^n+1n+1. • f(x) = 1/x sur ]0 ; +[, F(x) = (x). • f(x) = e^kx (k 0) F(x) = 1/k e^kx. • Formes composées : - u' e^u e^u - u'/u (pour u > 0) (u) - u' u^n (n -1) u^n+1n+1.

Le cours

1. Primitives des fonctions de référence Sur un intervalle où la fonction est définie, à une constante près : k kx x^n x^n+1n+1 \ (n -1) 1/x (x) \ (x > 0) 1/x^2 -1/x 1x 2x e^x e^x e^ax+b 1/a\,e^ax+b \ (a 0) 2. Formes composées Pour une fonction u dérivable sur l'intervalle considéré : u'u^n u^n+1n+1 \ (n -1) u'e^u e^u u'/u (u) \ (u > 0) u'u 2u \ (u > 0) Linéarité : si F et G sont des primitives de f et g, alors aF + bG est une primitive de af + bg. 3. Méthode : reconnaître une forme 1. Repérer la fonction u « à l'intérieur » (puissance, exponentielle, dénominateur). 2. Calculer u' et comparer avec le facteur présent dans l'expression. 3. Ajuster par une constante multiplicative si nécessaire, puis appliquer la forme. 4. Vérifier en dérivant le résultat. Exemple : f(x) = (3x - 1)^2 = 1/3 3(3x - 1)^2, avec u = 3x - 1 et u' = 3 : une primitive est F(x) = 1/3 (3x - 1)^3/3 = (3x - 1)^3/9.

Dans ce chapitre

• Propriétés algébriques de la fonction exponentielle de Première
• Fonction exponentielle : variations, limites et équations de Première
• Calcul de dérivées et étude de fonctions comportant l'exponentielle de Première
• Fonction logarithme népérien et dérivée de (u(x))
• Primitives et calcul intégral
• Définition et ensemble de définition de la fonction logarithme népérien
• Propriétés algébriques fondamentales du logarithme népérien
• Résolution d'équations et inéquations comportant (x) et e^x
• Dérivée et variations de la fonction composée ln(u)
• Fonctions puissances d'exposant réel et croissances comparées
• Notion de primitive d'une fonction continue sur un intervalle
• Primitives des fonctions de référence et formes usuelles
• Intégrale d'une fonction continue et positive comme aire sous la courbe
• Bilan : Synthèse et méthode sur Fonctions logarithme, puissances et calcul intégral