Résolution d'équations et inéquations comportant (x) et e^x

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• Pour tous a, b > 0 : (a) = (b) a = b et (a) 0 x > 1 • Changement de variable : poser X = (x) (avec x > 0) ou X = e^x (avec X > 0).

Le cours

1. Équivalences fondamentales Les fonctions (sur ]0\,;\,+[) et (sur R) sont strictement croissantes, donc elles conservent égalités et inégalités. Pour a > 0, b > 0 et k réel : (a) 0) Par exemple : (x) > 2 x > e^2 (avec x > 0) et e^x 5 x (5). 2. Méthode de résolution 1. Déterminer le domaine de validité : chaque () exige un argument strictement positif. 2. Se ramener à une comparaison de deux logarithmes ou de deux exponentielles (regrouper avec les propriétés algébriques si besoin). 3. Appliquer l'équivalence adaptée, puis résoudre l'équation ou l'inéquation obtenue. 4. Intersecter avec le domaine de validité et conclure. Si l'expression est du second degré en (x) ou en e^x, on pose X = (x) (pour x > 0) ou X = e^x (avec alors X > 0), puis on revient à x. 3. Attention au domaine (x) + (x - 3) = (4) n'a de sens que pour x > 3. On obtient x(x - 3) = 4, soit x = 4 ou x = -1 ; seule x = 4 convient.

Dans ce chapitre

• Propriétés algébriques de la fonction exponentielle de Première
• Fonction exponentielle : variations, limites et équations de Première
• Calcul de dérivées et étude de fonctions comportant l'exponentielle de Première
• Fonction logarithme népérien et dérivée de (u(x))
• Primitives et calcul intégral
• Définition et ensemble de définition de la fonction logarithme népérien
• Propriétés algébriques fondamentales du logarithme népérien
• Résolution d'équations et inéquations comportant (x) et e^x
• Dérivée et variations de la fonction composée ln(u)
• Fonctions puissances d'exposant réel et croissances comparées
• Notion de primitive d'une fonction continue sur un intervalle
• Primitives des fonctions de référence et formes usuelles
• Intégrale d'une fonction continue et positive comme aire sous la courbe
• Bilan : Synthèse et méthode sur Fonctions logarithme, puissances et calcul intégral