Intégrale d'une fonction continue et positive comme aire sous la courbe

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• **Définition géométrique** : Pour f 0 sur [a ; b], _a^b f(x) \, dx mesure l'aire sous la courbe entre x = a et x = b. • **Théorème fondamental du calcul intégral** : _a^b f(x) \, dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) où F est une primitive quelconque de f sur [a ; b]. • **Propriétés élémentaires** : - _a^a f(x) \, dx = 0 - _a^b f(x) \, dx = -_b^a f(x) \, dx - Linéarité : _a^b ( f + g) = _a^b f + _a^b g.

Le cours

1. Unité d'aire et définition Dans un repère orthogonal (O\,;\,I,\,J), l'unité d'aire (u.a.) est l'aire du rectangle de côtés OI et OJ. Si f est continue et positive sur [a\,;\,b], l'intégrale _a^b f(x)\,dx est l'aire, en u.a., du domaine compris entre la courbe C_f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = a et x = b. La variable x est « muette » : _a^b f(x)\,dx = _a^b f(t)\,dt. 2. Calcul avec une primitive _a^b f(x)\,dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) Exemple : _0^2 x^2\,dx = [x^3/3]_0^2 = 8/3 2,67 u.a., aire inférieure à celle du rectangle [0\,;\,2] [0\,;\,4], qui vaut 8 u.a. 3. Propriétés utiles 1. Relation de Chasles : _a^c f = _a^b f + _b^c f. 2. Linéarité : _a^b ( f + g) = _a^b f + _a^b g. 3. Positivité : si f 0 sur [a\,;\,b] avec a b, alors _a^b f 0. 4. Attention aux unités Si une unité vaut 2\ cm sur l'axe des abscisses et 3\ cm sur l'axe des ordonnées, alors 1 u.a. = 6\ cm^2 : une aire de 8/3 u.a. vaut 16\ cm^2.

Dans ce chapitre

• Propriétés algébriques de la fonction exponentielle de Première
• Fonction exponentielle : variations, limites et équations de Première
• Calcul de dérivées et étude de fonctions comportant l'exponentielle de Première
• Fonction logarithme népérien et dérivée de (u(x))
• Primitives et calcul intégral
• Définition et ensemble de définition de la fonction logarithme népérien
• Propriétés algébriques fondamentales du logarithme népérien
• Résolution d'équations et inéquations comportant (x) et e^x
• Dérivée et variations de la fonction composée ln(u)
• Fonctions puissances d'exposant réel et croissances comparées
• Notion de primitive d'une fonction continue sur un intervalle
• Primitives des fonctions de référence et formes usuelles
• Intégrale d'une fonction continue et positive comme aire sous la courbe
• Bilan : Synthèse et méthode sur Fonctions logarithme, puissances et calcul intégral