Propriétés algébriques de la fonction exponentielle de Première

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• e^x > 0 pour tout x. • e^a+b = e^a e^b. • L'exponentielle transforme les sommes en produits.

Le cours

1. Définition et positivité stricte La fonction exponentielle, notée ou x e^x, est l'unique fonction dérivable sur R vérifiant : f' = f et f(0) = 1 (e^x)' = e^x et e^0 = 1 Pour tout réel x R, e^x > 0 (strictement positif, jamais nul). 2. Règles opératoires fondamentales Pour tous réels x, y et tout entier n Z : • Relation fonctionnelle : e^x + y = e^x e^y (transforme l'addition en produit). • Inverse : e^-x = 1/e^x. • Quotient : e^x/e^y = e^x - y. • Puissance : (e^x)^n = e^n x. 3. Sens de variation et comparaison Comme (e^x)' = e^x > 0, la fonction exponentielle est strictement croissante sur R. Par conséquent : e^a = e^b a = b et e^a < e^b a < b.

Dans ce chapitre

• Propriétés algébriques de la fonction exponentielle de Première
• Fonction exponentielle : variations, limites et équations de Première
• Calcul de dérivées et étude de fonctions comportant l'exponentielle de Première
• Fonction logarithme népérien et dérivée de (u(x))
• Primitives et calcul intégral
• Définition et ensemble de définition de la fonction logarithme népérien
• Propriétés algébriques fondamentales du logarithme népérien
• Résolution d'équations et inéquations comportant (x) et e^x
• Dérivée et variations de la fonction composée ln(u)
• Fonctions puissances d'exposant réel et croissances comparées
• Notion de primitive d'une fonction continue sur un intervalle
• Primitives des fonctions de référence et formes usuelles
• Intégrale d'une fonction continue et positive comme aire sous la courbe
• Bilan : Synthèse et méthode sur Fonctions logarithme, puissances et calcul intégral