Primitives et calcul intégral

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• Primitive : F' = f ; deux primitives sur un intervalle diffèrent d'une constante. • Intégrale : _a^b f(t)\,dt = F(b) - F(a), où F est une primitive de f. • Valeur moyenne sur [a\,;\,b] : = 1/b-a_a^b f(t)\,dt. • Si f 0 sur [a\,;\,b], l'intégrale est l'aire sous la courbe en unités d'aire.

Le cours

Définition d'une primitive Une fonction F est une primitive de f sur un intervalle I si F est dérivable sur I et si pour tout x I, F'(x) = f(x). Si F est une primitive de f, alors toutes les primitives de f sur I sont de la forme x F(x) + C, où C R. Calcul intégral et Théorème fondamental Soit f une fonction continue sur [a ; b] et F une primitive quelconque de f sur cet intervalle. L'intégrale de f entre a et b est le nombre réel : _a^b f(x)\,dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) Primitives usuelles indispensables • u'/u (u) (pour u > 0) • u' e^u e^u • u' u^n u^n+1n+1 (n -1) • u'u 2u (u > 0)

Dans ce chapitre

• Propriétés algébriques de la fonction exponentielle de Première
• Fonction exponentielle : variations, limites et équations de Première
• Calcul de dérivées et étude de fonctions comportant l'exponentielle de Première
• Fonction logarithme népérien et dérivée de (u(x))
• Primitives et calcul intégral
• Définition et ensemble de définition de la fonction logarithme népérien
• Propriétés algébriques fondamentales du logarithme népérien
• Résolution d'équations et inéquations comportant (x) et e^x
• Dérivée et variations de la fonction composée ln(u)
• Fonctions puissances d'exposant réel et croissances comparées
• Notion de primitive d'une fonction continue sur un intervalle
• Primitives des fonctions de référence et formes usuelles
• Intégrale d'une fonction continue et positive comme aire sous la courbe
• Bilan : Synthèse et méthode sur Fonctions logarithme, puissances et calcul intégral