Dérivée et variations de la fonction composée ln(u)

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• **Formule de dérivation** : Pour u(x) > 0, ((u))' = u'/u. • **Règle de signe** : Comme u(x) > 0, le dénominateur est toujours strictement positif : le signe de ((u))' est exactement le signe de u'. • **Conséquence sur les variations** : La fonction (u) a les mêmes variations que la fonction u sur tout intervalle où u > 0.

Le cours

1. Dérivée de (u) Si u est dérivable et strictement positive sur un intervalle I, la fonction f = (u) est dérivable sur I et : f'(x) = u'(x)/u(x) Exemple : u(x) = 1 + e^x > 0 sur R, donc ((1 + e^x))' = e^x/1 + e^x, qui est strictement positive : la fonction est croissante sur R. 2. Signe de la dérivée et variations Le dénominateur u(x) étant strictement positif, f'(x) a le signe de u'(x). Ainsi (u) et u ont les mêmes variations sur I et leurs extremums sont atteints aux mêmes abscisses. Si u admet un maximum M en x_0, alors (u) admet le maximum (M) en x_0. 3. Méthode : étude complète de (u) 1. Déterminer le domaine : résoudre u(x) > 0. 2. Calculer u'(x) puis f'(x) = u'(x)/u(x). 3. Étudier le signe de u'(x) sur le domaine. 4. Dresser le tableau de variations en calculant les images f(x) = (u(x)) aux points remarquables. 4. Attention Ne pas confondre le signe de f' et le signe de f : (u(x)) > 0 u(x) > 1. Par exemple (x^2 + 0,5) est négatif en x = 0 car (0,5) -0,69.

Dans ce chapitre

• Propriétés algébriques de la fonction exponentielle de Première
• Fonction exponentielle : variations, limites et équations de Première
• Calcul de dérivées et étude de fonctions comportant l'exponentielle de Première
• Fonction logarithme népérien et dérivée de (u(x))
• Primitives et calcul intégral
• Définition et ensemble de définition de la fonction logarithme népérien
• Propriétés algébriques fondamentales du logarithme népérien
• Résolution d'équations et inéquations comportant (x) et e^x
• Dérivée et variations de la fonction composée ln(u)
• Fonctions puissances d'exposant réel et croissances comparées
• Notion de primitive d'une fonction continue sur un intervalle
• Primitives des fonctions de référence et formes usuelles
• Intégrale d'une fonction continue et positive comme aire sous la courbe
• Bilan : Synthèse et méthode sur Fonctions logarithme, puissances et calcul intégral