Variables aléatoires discrètes, espérance et variance de Première

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• **Loi de probabilité** : _i P(X = x_i) = 1. • **Espérance mathématique** : E(X) = _i x_i P(X = x_i). • **Variance** (formule de Koenig-Huygens) : V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = _i x_i^2 P(X = x_i) - (E(X))^2 • **Écart-type** : (X) = V(X).

Le cours

1. Variable aléatoire et loi de probabilité Une variable aléatoire X associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire. Donner sa loi de probabilité, c'est donner les valeurs x_1, x_2, , x_n qu'elle prend et les probabilités p_i = P(X = x_i), en général dans un tableau. p_1 + p_2 + + p_n = 1 2. Espérance, variance, écart type L'espérance E(X) = x_i p_i est la moyenne des valeurs pondérée par leurs probabilités : c'est la valeur moyenne obtenue sur un très grand nombre de répétitions. La variance mesure la dispersion autour de E(X) : V(X) = p_i (x_i - E(X))^2, ou plus rapidement V(X) = E(X^2) - (E(X))^2. L'écart type est (X) = V(X), exprimé dans la même unité que X. 3. Méthode et mini-exemple 1. Lister les valeurs possibles de X et leurs probabilités, vérifier que la somme vaut 1. 2. Calculer E(X), puis E(X^2) = x_i^2 p_i. 3. En déduire V(X) puis (X). Exemple : X vaut -1 ou 3 avec la probabilité 0,5 chacune. E(X) = -0,5 + 1,5 = 1, E(X^2) = 0,5 + 4,5 = 5, donc V(X) = 5 - 1 = 4 et (X) = 2 : chaque valeur est à 2 de la moyenne.

Dans ce chapitre

• Schéma de Bernoulli et variables aléatoires de Première
• Variables aléatoires discrètes, espérance et variance de Première
• Loi binomiale : coefficients binomiaux, paramètres n et p de Première
• Loi exponentielle et durée de vie sans vieillissement
• Loi normale et intervalles caractéristiques
• Densité de probabilité d'une variable aléatoire continue sur un intervalle
• Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
• Fonction de densité et fonction de répartition de la loi exponentielle
• Espérance mathématique de la loi exponentielle et applications à la fiabilité
• Propriété d'absence de mémoire (sans vieillissement) de la loi exponentielle
• Loi normale centrée réduite N(0, 1)
• Loi normale générale N(, ^2) et intervalles caractéristiques
• Applications des lois continues à la gestion des risques et au contrôle qualité
• Bilan : Synthèse et méthode sur Lois de probabilités discrètes et continues