Loi exponentielle et durée de vie sans vieillissement

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• Densité de E() : f(t) = e^- t pour t 0, avec > 0. • Panne avant t : P(X t) = 1 - e^- t ; survie : P(X > t) = e^- t. • Durée de vie moyenne E(X) = 1/ et demi-vie t_1/2 = 2/. • Sans vieillissement : P_X > t(X > t + s) = P(X > s).

Le cours

Définition de la loi exponentielle de paramètre > 0 Une variable aléatoire continue X suit la loi exponentielle de paramètre > 0 (notée X E()) si sa fonction de densité est donnée pour tout t 0 par : f(t) = e^- t Formules de probabilités et espérance Pour tous réels a 0 et b a : • P(X a) = _0^a e^- t\,dt = 1 - e^- a • Probabilité de survie : P(X > a) = e^- a • P(a X b) = e^- a - e^- b • Espérance mathématique : E(X) = 1/ Propriété d'absence de mémoire (sans vieillissement) Pour tous réels positifs s et t : P_X > t(X > t + s) = P(X > s) Le fait qu'un composant ait fonctionné pendant t heures ne modifie pas sa probabilité de fonctionner encore au moins s heures supplémentaires.

Dans ce chapitre

• Schéma de Bernoulli et variables aléatoires de Première
• Variables aléatoires discrètes, espérance et variance de Première
• Loi binomiale : coefficients binomiaux, paramètres n et p de Première
• Loi exponentielle et durée de vie sans vieillissement
• Loi normale et intervalles caractéristiques
• Densité de probabilité d'une variable aléatoire continue sur un intervalle
• Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
• Fonction de densité et fonction de répartition de la loi exponentielle
• Espérance mathématique de la loi exponentielle et applications à la fiabilité
• Propriété d'absence de mémoire (sans vieillissement) de la loi exponentielle
• Loi normale centrée réduite N(0, 1)
• Loi normale générale N(, ^2) et intervalles caractéristiques
• Applications des lois continues à la gestion des risques et au contrôle qualité
• Bilan : Synthèse et méthode sur Lois de probabilités discrètes et continues