Densité de probabilité d'une variable aléatoire continue sur un intervalle

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• **Conditions pour être une fonction de densité** sur un intervalle I : 1. f est continue (ou continue par morceaux) sur I. 2. f(t) 0 pour tout t I (positivité). 3. L'aire totale sous la courbe vaut 1 : _I f(t) \, dt = 1. • **Calcul de probabilité** : P(c X d) = _c^d f(t) \, dt. • **Propriété fondamentale** : P(X = c) = 0 pour toute valeur ponctuelle c. Par conséquent, P(c X d) = P(c < X < d).

Le cours

1. Fonction de densité Une variable aléatoire continue X prend ses valeurs dans un intervalle I de R. Sa loi est décrite par une fonction de densité f définie sur I qui vérifie trois conditions : f est continue (ou continue par morceaux) sur I, f(t) 0 pour tout t de I, et l'aire totale sous sa courbe vaut 1. 2. Probabilité = aire sous la courbe Pour tout intervalle [c\,;\,d] inclus dans I, la probabilité que X soit entre c et d est l'aire du domaine compris entre la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites x = c et x = d : P(c X d) = _c^d f(t)\,dt Un point isolé n'a pas d'aire : P(X = c) = 0, donc les inégalités larges ou strictes donnent la même probabilité. 3. Méthode et mini-exemple 1. Vérifier la continuité et la positivité de f sur I. 2. Calculer l'intégrale de f sur I avec une primitive et vérifier qu'elle vaut 1. 3. Pour une probabilité, intégrer f entre les bornes demandées. Exemple : f(t) = t/2 sur [0\,;\,2] est positive, de primitive t^2/4, et 4/4 - 0 = 1. Alors P(X 1) = 1/4 - 0 = 0,25.

Dans ce chapitre

• Schéma de Bernoulli et variables aléatoires de Première
• Variables aléatoires discrètes, espérance et variance de Première
• Loi binomiale : coefficients binomiaux, paramètres n et p de Première
• Loi exponentielle et durée de vie sans vieillissement
• Loi normale et intervalles caractéristiques
• Densité de probabilité d'une variable aléatoire continue sur un intervalle
• Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
• Fonction de densité et fonction de répartition de la loi exponentielle
• Espérance mathématique de la loi exponentielle et applications à la fiabilité
• Propriété d'absence de mémoire (sans vieillissement) de la loi exponentielle
• Loi normale centrée réduite N(0, 1)
• Loi normale générale N(, ^2) et intervalles caractéristiques
• Applications des lois continues à la gestion des risques et au contrôle qualité
• Bilan : Synthèse et méthode sur Lois de probabilités discrètes et continues