Loi binomiale : coefficients binomiaux, paramètres n et p de Première

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• **Conditions** : n épreuves identiques, indépendantes, à deux issues (Succès/Échec). • **Formule des probabilités** : P(X = k) = nk p^k (1-p)^n-k • **Espérance et variance** : E(X) = np et V(X) = np(1-p) • **Événement au moins un** : P(X 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1-p)^n.

Le cours

1. Schéma de Bernoulli On répète n fois une même épreuve à deux issues (succès de probabilité p, échec de probabilité 1 - p), les répétitions étant indépendantes. La variable X qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres n (nombre d'épreuves) et p (probabilité de succès), notée B(n, p) ; elle prend les valeurs 0, 1, , n. 2. Coefficients binomiaux et formule Le coefficient binomial nk est le nombre de chemins de l'arbre comportant exactement k succès parmi n épreuves. On a n0 = nn = 1, n1 = n et nk = nn-k. P(X = k) = nk\, p^k (1-p)^n-k Espérance E(X) = np, variance V(X) = np(1-p), écart type (X) = np(1-p). 3. Mini-exemple On lance 3 fois une pièce équilibrée et X compte les « pile » : X B(3\,;\,0,5). Il y a 32 = 3 chemins à deux « pile » (PPF, PFP, FPP), donc P(X = 2) = 3 0,5^2 0,5 = 0,375, et E(X) = 3 0,5 = 1,5. 4. Attention Un tirage sans remise dans une petite population ne donne pas des épreuves indépendantes : la loi binomiale ne s'applique pas exactement.

Dans ce chapitre

• Schéma de Bernoulli et variables aléatoires de Première
• Variables aléatoires discrètes, espérance et variance de Première
• Loi binomiale : coefficients binomiaux, paramètres n et p de Première
• Loi exponentielle et durée de vie sans vieillissement
• Loi normale et intervalles caractéristiques
• Densité de probabilité d'une variable aléatoire continue sur un intervalle
• Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
• Fonction de densité et fonction de répartition de la loi exponentielle
• Espérance mathématique de la loi exponentielle et applications à la fiabilité
• Propriété d'absence de mémoire (sans vieillissement) de la loi exponentielle
• Loi normale centrée réduite N(0, 1)
• Loi normale générale N(, ^2) et intervalles caractéristiques
• Applications des lois continues à la gestion des risques et au contrôle qualité
• Bilan : Synthèse et méthode sur Lois de probabilités discrètes et continues