Loi normale et intervalles caractéristiques

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• Si X N(, ^2), alors Z = X - / N(0, 1). • P( - X + ) 0,683 et P( - 2 X + 2) 0,954. • P( - 3 X + 3) 0,997. • Symétrie autour de : P(X ) = 0,5.

Le cours

Loi normale centrée réduite N(0, 1) et loi générale N(, ^2) La loi normale est le modèle de référence des grandeurs soumises à la somme d'un grand nombre de petites fluctuations indépendantes (courbe en cloche de Gauss symétrique par rapport à la moyenne ). • Si X N(, ^2), alors la variable Z = X - / suit la loi normale centrée réduite N(0, 1). • Espérance : E(X) = ; Écart-type : (X) = . Intervalles caractéristiques 1-2-3 (à connaître par cœur) Pour toute variable aléatoire X N(, ^2) : P( - X + ) 0,683 (environ 68 % des valeurs). P( - 2 X + 2) 0,954 (environ 95 % des valeurs). P( - 1,96 X + 1,96) 0,950 (intervalle à 95 %). P( - 3 X + 3) 0,997 (environ 99,7 % des valeurs). Propriété de symétrie Du fait de la symétrie de la courbe de Gauss par rapport à la droite d'abscisse : P(X ) = P(X ) = 0,5 et P(X - k) = P(X + k)

Dans ce chapitre

• Schéma de Bernoulli et variables aléatoires de Première
• Variables aléatoires discrètes, espérance et variance de Première
• Loi binomiale : coefficients binomiaux, paramètres n et p de Première
• Loi exponentielle et durée de vie sans vieillissement
• Loi normale et intervalles caractéristiques
• Densité de probabilité d'une variable aléatoire continue sur un intervalle
• Loi uniforme sur un intervalle [a, b]
• Fonction de densité et fonction de répartition de la loi exponentielle
• Espérance mathématique de la loi exponentielle et applications à la fiabilité
• Propriété d'absence de mémoire (sans vieillissement) de la loi exponentielle
• Loi normale centrée réduite N(0, 1)
• Loi normale générale N(, ^2) et intervalles caractéristiques
• Applications des lois continues à la gestion des risques et au contrôle qualité
• Bilan : Synthèse et méthode sur Lois de probabilités discrètes et continues